TRIANGLE ACUTANGLE: CARACTERÍSTIQUES I TIPUS - MATEMÀTIQUES - 2026

Els triangles acutangles són aquells els tres angles interns són angles aguts; és a dir, la mesura de cada un d'aquests angles és menor a 90 ° graus. A el no tenir cap angle recte, tenim que el teorema de Pitàgores no es compleix per a aquesta figura geomètrica.

Per això, si volem tenir algun tipus d'informació sobre qualsevol dels seus costats o angles cal fer ús d'altres teoremes que ens permetin tenir accés a aquestes dades. Els que podem utilitzar són el teorema de el si i el teorema de l'cosinus.

Característiques

Entre les característiques que posseeix aquesta figura geomètrica podem ressaltar aquelles que vénen donades pel simple fet de ser un triangle. Entre aquestes hem de:

- Un triangle és un polígon que posseeix tres costats i tres angles.

- La suma dels seus tres angles interns és igual a 180 °.

- La suma de dos dels seus costats sempre és major a l'tercer.

Com a exemple vegem el següent triangle ABC. De forma general identifiquem als seus costats amb lletra minúscula i als seus angles amb lletra majúscula, de manera que una banda i el seu angle oposat posseeixin la mateixa lletra.

Per les característiques ja donades, sabem que:

A + B + C = 180 °

a + b> c, a + c> bib + c> a

La característica principal que distingeix aquest tipus de triangle la resta és que, com ja hem esmentat, els seus angles interns són aguts; és a dir, la mesura de cadascun dels seus angles és menor a 90 °.

Els triangles acutangles, al costat dels triangles obtusangles (aquells en què un dels seus angles posseeix una mesura major a 90 °), formen part del conjunt de triangles obliquangles. Aquest conjunt està format pels triangles que no són rectangles.

A l'formar part dels triangles obliquangles, hem de per poder resoldre problemes on intervinguin triangles acutangles hem de fer ús de l'teorema de el si i de l'teorema de l'cosinus.

Teorema de el si

El teorema de el si ens afirma que la raó d'una banda amb el si del seu angle oposat és igual a dues vegades el radi de el cercle format pels tres vèrtexs d'aquest triangle. És a dir:

2r = a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C)

Teorema de l'cosinus

D'altra banda, el teorema de l'cosinus ens dóna aquestes tres igualtats per a qualsevol triangle ABC:

a ² = b ² + c ² -2bc * cos (A)

b ² = a ² + c ² -2ac * cos (B)

c ² = a ² + b ² -2ab * cos (C)

Aquests teoremes també són coneguts com a llei de el si i llei de l'cosinus, respectivament.

Una altra característica que podem donar dels triangles acutangles és que dos d'aquests són iguals si compleixen amb algun dels següents criteris:

- Si tenen els tres costats iguals.

- Si tenen un costat i dos angles iguals entre si.

- Si tenen dos costats i un angle iguals.

tipus

Els triangles acutangles els podem classificar en funció dels seus costats. Aquests poden ser:

Triangles acutangles equilàters

Són els triangles acutangles que posseeixen tots els seus costats iguals i, per tant, tots els seus angles interns posseeixen el mateix valor, el qual és A = B = C = 60 ° graus.

Com a exemple prenguem el següent triangle, els costats a, b i tenen un valor de 4.

Triangles acutangles isòsceles

Aquests triangles, a més de tenir angles interns aguts, tenen la característica de posseir dos dels seus costats iguals i el tercer, que es pren generalment com la base, diferent.

Un exemple d'aquest tipus de triangles pot ser un la base sigui de 3 i els seus altres dos costats tinguin un valor de 5. Amb aquestes mesures tindria els angles oposats als costats iguals amb el valor de 72,55 ° i l'angle oposat de la base seria de 34,9 °.

Triangles acutangles escalè

Aquests són els triangles que posseeixen tots els seus costats diferents dos a dos. Per tant, tots els seus angles, a més de ser menors de 90 °, són diferents dos a dos.

El triangle DEF (les mesures són d = 4, i = 5 if = 6 i els seus angles són D = 41,41 °, E = 55,79 ° i F = 82,8 °) és un bon exemple d'un triangle acutangle escalè.

Resolució de triangles acutangles

Com vam dir anteriorment, per a la resolució de problemes on intervenen triangles acutangles és necessària la utilització dels teoremes de el si i el cosinus.

exemple 1

Donat un triangle ABC amb angles A = 30 °, B = 70 ° i de costat a = 5 cm, desitgem saber el valor de l'angle C i els costats b i c.

El primer que fem és usar el fet que la suma dels angles interns d'un triangle és de 180 °, per així obtenir el valor de l'angle C.

180 ° = A + B + C = 30 ° + 70 ° + C = 100 ° + C

Aïllem C i ens queda:

C = 180 ° - 100 ° = 80 °

Com ja coneixem els tres angles i un costat, podem usar el teorema de el si per determinar el valor dels costats restants. Pel teorema tenim que:

a / sin (A) = b / sin (B) ia / sin (A) = c / (sin (C)

Aïllem b de l'equació i ens queda que:

b = (a * sin (B)) / sin (A) ≈ (5 * 0.940) / (0.5) ≈ 9.4

Ara només falta calcular el valor de c. Procedim de forma anàloga com en el cas anterior:

c = (a * sin (C)) / sin (A) ≈ (5 * 0984) / (0.5) ≈ 9.84

Així obtenim totes les dades de l'triangle. Com podem notar, aquest triangle entra en la categoria de triangle acutangle escalè.

exemple 2

Donat un triangle DEF amb costats d = 4cm, i = 5 cm i f = 6cm, desitgem saber el valor dels angles d'aquest triangle.

Per a aquest cas farem servir la llei de l'cosinus, la qual ens diu que:

d ² = e ² + f ² - 2efcos (D)

D'aquesta equació podem aclarir cos (D), el que ens dóna com a resultat:

Cos (D) = ((4) ^febrer - (5) ^febrer - (6) ^febrer) / (- 2 * 5 * 6) = 0.75

D'aquí hem de D≈ 41.41 °

Usant ara el teorema de l'senom tenim la següent equació:

d / (sin (D) = i / (sin (I)

Si aïllem sin (I), hem de:

sin (E) = i * sin (D) / d = (5 * 0.66) / 4 ≈ 0.827

D'aquí hem de E≈55.79 °

Finalment, usant que la suma dels angles interns d'un triangle és 180 °, hem de F≈82.8 °.

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometria (Reprint ed.). Progrés.
2. Leake, D. (2006). Triangles (illustrated ed.). Heinemann-Raintree.
3. Leal G. Juan Manuel. (2003). Geometria mètrica plana.CODEPRE
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometries. Tecnologica de CR.
5. Sullivan, M. (1997). Trigonometria i Geometria Analítica. Pearson Educació.