TRAPEZI RECTANGLE: PROPIETATS, RELACIONS I FÓRMULES, EXEMPLES - MATEMÀTIQUES - 2025

Un trapezi rectangle és una figura plana de quatre costats, tal que dos d'ells són paral·lels entre si, denominats bases i més un dels altres costats és perpendicular a les bases.

Per aquest motiu, dos dels angles interns són rectes, és a dir, mesuren 90º. D'allí el nom de "rectangle" que se li dóna a la figura. La següent imatge d'un trapezi rectangle aclareix aquestes característiques:

Elements de el trapezi

Els elements de l'trapezi són:

-Bases

-Vértices

-Altura

-Ángulos interns

-Base mitjana

-Diagonales

Anem a detallar aquests elements amb ajuda de les figures 1 i 2:

Figura 1. Un trapezi rectangle, caracteritzat per tenir dos angles interns de 90º: A i B. Font: F. Zapata.

Els costats de l'trapezi rectangle es denoten mitjançant lletres minúscules a, b, ci d. Les cantonades de la figura o vèrtexs s'indiquen en majúscules. Finalment els angles interns estan expressats amb lletres gregues.

Segons la definició, les bases d'aquest trapezi són els costats aib, que com s'observa són paral·lels ia més tenen diferent longitud.

El costat perpendicular a les dues bases és el costat ca l'esquerra, que és l'altura h de l'trapezi. I finalment hi ha el costat d, que forma l'angle agut α amb el costat a.

La suma dels angles interns d'un quadrilàter és 360º. S'aprecia fàcilment que l'angle C que falta a la figura és 180 - α.

La base mitjana és el segment que uneix els punts mitjans dels costats no paral·lels (segment EF a la figura 2).

Figura 2. Els elements de l'trapezi rectangle. Font: F. Zapata.

I finalment hi ha les diagonals d ₁ id ₂, els segments que uneixen els vèrtexs oposats i que s'intersecten en el punt O (veure figura 2).

Relacions i fórmules

Altura h de l'trapezi

perímetre P

És la mesura de el contorn i es calcula sumant els costats:

El costat d s'expressa en termes de l'altura o el costat c mitjançant el teorema de Pitàgores:

Substituint en el perímetre:

base mitjana

És la semisuma de les bases:

De vegades es troba la base mitjana expressada d'aquesta manera:

àrea

L'àrea A del trapezi és el producte de la base mitjana per l'altura:

Diagonals, costats i angles

A la figura 2 apareixen diversos triangles, tant rectangles com no rectangles. Als que són triangles rectangles se'ls pot aplicar el teorema de Pitàgores i als que no, els teoremes de l'cosinus i de el si.

D'aquesta forma es troben relacions entre els costats i entre els costats i els angles interns de l'trapezi.

triangle CPA

És rectangle, els seus catets són iguals i valen b, mentre que la hipotenusa és la diagonal d ₁, per tant:

triangle DAB

També és rectangle, els catets són aic (o també aih) i la hipotenusa és d ₂, de manera que:

triangle CDA

Com aquest triangle no és rectangle, se li aplica el teorema de cosinus, o també el de el si.

Segons el teorema de l'cosinus:

triangle CDP

Aquest triangle és rectangle i amb els seus costats es construeixen les raons trigonomètriques d'l'angle α:

Però el costat PD = a - b, per tant:

També es té:

triangle CDB

En aquest triangle tenim l'angle el vèrtex està en C. No està marcat a la figura, però a l'començament es va destacar que val 180 - α. Aquest triangle no és rectangle, pel que pot aplicar-se teorema de el cosinus o teorema de el si.

Ara bé, es pot demostrar fàcilment que:

Aplicant el teorema de l'cosinus:

Exemples de trapezis rectangles

Els trapezis i en particular els trapezis rectangles es troben en molts costats, i de vegades no sempre en forma tangible. Aquí tenim diversos exemples:

El trapezi com a element de disseny

Les figures geomètriques abunden en l'arquitectura de nombroses edificacions, com aquesta església a Nova York, que mostra una estructura en forma de trapezi rectangle.

Així mateix la forma trapezoïdal és freqüent en el disseny d'envasos, contenidors, fulles (cúter o exacte), xapes i en disseny gràfic.

Figura 3. Àngel dins d'un trapezi rectangle en una església de Nova York. Font: David Goehring a través de Flickr.

Generador d'ona trapezoïdal

Els senyals elèctriques no només poden ser quadrades, sinusoïdals o triangulars. Existeixen també els senyals trapezoïdals que són d'utilitat en nombrosos circuits. A la figura 4 hi ha un senyal trapezoïdal composta de dos trapezis rectangles. Entre tots dos formen un sol trapezi isòsceles.

Figura 4. Un senyal trapezoïdal. Font: Wikimedia Commons.

En el càlcul numèric

Per calcular en forma numèrica la integral definida de la funció f (x) entre aib, s'utilitza la regla de l'trapezi per aproximar l'àrea sota la gràfica de f (x). En la següent figura, a l'esquerra la integral s'aproxima amb un sol trapezi rectangle.

Una millor aproximació és la de la figura dreta, amb múltiples trapezis rectangles.

Figura 5. Una integral definida entre aib no és altra cosa que l'àrea sota la corba f (x) entre aquests valors. Un trapezi rectangle pot servir com a primera aproximació per a aquesta àrea, però com més trapezis es facin servir, millor és l'aproximació. Font: Wikimedia Commons.

Biga amb càrrega trapezoïdal

Les forces no sempre es concentren sobre un únic punt, ja que els cossos sobre els quals actuen tenen dimensions apreciables. Tal és el cas d'un pont pel qual circulen contínuament els vehicles, l'aigua d'una piscina sobre les parets verticals de la mateixa o una teulada sobre el qual acumula aigua o neu.

Per això les forces es distribueixen per unitat de longitud, de superfície o de volum, segons el cos sobre el qual actuen.

En el cas d'una biga, una força distribuïda per unitat de longitud pot tenir diverses distribucions, per exemple la de trapezi rectangle mostrada a continuació:

Figura 6. Càrregues sobre una biga. Font: Bedford, A. 1996. Estàtica. Addison Wesley Interamericana.

En la realitat, no sempre les distribucions es corresponen a formes geomètriques regulars com aquesta, però sí que poden ser una bona aproximació en molts casos.

Com a eina educativa i d'aprenentatge

Els blocs i làmines amb formes geomètriques, entre les quals s'inclouen els trapezis, són molt útils perquè els nens es familiaritzin des de ben petit amb el fascinant món de la geometria.

Figura 7. Blocs amb formes geomètriques senzilles. Quants trapezis rectangles s'amaguen en els blocs? Font: Wikimedia Commons.

exercicis resolts

- Exercici 1

Al trapezi rectangle de la figura 1, la base major val 50 cm i la base menor és igual a 30 cm, també se sap que el costat oblic mesura 35 cm. trobar:

a) Angle α

b) Alçada

c) Perímetre

d) Base mitjana

e) Àrea

f) Diagonals

solució a

Les dades de l'enunciat es resumeixen d'aquesta manera:

a = base major = 50 cm

b = base menor = 30 cm

d = costat inclinat = 35 cm

Per trobar l'angle α vam visitar la secció de fórmules i equacions, per veure quina és la que millor s'adapta a les dades ofertes. L'angle buscat es troba en diversos dels triangles analitzats, per exemple el CDP.

Allà tenim aquesta fórmula, que conté la incògnita i també les dades que coneixem:

Per tant:

S'aïlla h:

d ₁ ² = 2 x (30 cm) ² = 1800 cm ²

d ₁ = √1800 cm ² = 42.42 cm

I per la diagonal d ₂:

referències

1. Baldor, A. 2004. Geometria plana i de l'espai amb trigonometria. Publicacions Cultural.
2. Bedford, A. 1996. Estàtica. Addison Wesley Interamericana.
3. Jr. geometry. 2014. Polygons. Lulu Press, Inc.
4. OnlineMSchool. Trapezi rectangle. Recuperat de: es.onlinemschool.com.
5. Solucionador automàtic de problemes de geometria. El trapezi. Recuperat de: scuolaelettrica.it
6. Wikipedia. Trapezi (geometria). Recuperat de: es.wikipedia.org.