TRAPEZI ISÒSCELES: PROPIETATS, RELACIONS I FÓRMULES, EXEMPLES - MATEMÀTIQUES - 2026

Un trapezi isòsceles és un quadrilàter en el qual dos dels costats són paral·lels entre si i, a més, els dos angles adjacents a un d'aquests costats paral·lels tenen la mateixa mida.

A la figura 1 es té el quadrilàter ABCD, en què els costats AD i BC són paral·lels. Addicionalment, els angles ∠DAB i ∠ADC adjacents a la banda paral·lel AD tenen la mateixa mesura α.

Figura 1. Trapezi isòsceles. Font: F. Zapata.

Així doncs, aquest quadrilàter, o polígon de quatre costats és, en efecte, un trapezi isòsceles.

En un trapezi, els costats paral·lels es diuen bases i els no-paral·lels s'anomenen laterals. Una altra característica important és l'altura, que és la distància que separa els costats paral·lels.

A més de l'trapezi isòsceles hi ha altres tipus de trapezi:

-T rapecio escalè, que té tots els seus angles i costats diferents.

-T rapecio rectangle, en què una lateral té angles adjacents rectes.

La forma trapezoïdal és freqüent en diversos àmbits del disseny, l'arquitectura, l'electrònica, el càlcul i moltes més, com es veurà més endavant. D'allí la importància de familiaritzar-se amb les seves propietats.

propietats

Exclusives de l'trapezi isòsceles

Si un trapezi és isòsceles llavors compleix les següents propietats característiques:

1.- Les laterals tenen la mateixa mida.

2.- Els angles adjacents a les bases són iguals.

3.- Els angles oposats són suplementaris.

4.- Les diagonals tenen la mateixa longitud, sent les mateixes els dos segments que uneixen els vèrtexs oposats.

5.- L'angle format entre les bases i les diagonals són tots de la mateixa mida.

6.- Té circumferència circumscrita.

Recíprocament, si un trapezi compleix alguna de les propietats anteriors, llavors és un trapezi isòsceles.

Si en un trapezi isòsceles un dels angles és recte (90º), llavors tots els altres angles també ho seran, formant un rectangle. És a dir, un rectangle és un cas particular de trapezi isòsceles.

Figura 2. L'envàs de crispetes de blat de moro i les taules escolars tenen forma de trapezi isòsceles. Font: Pxfuel (esquerra) / McDowell Craig a través de Flickr. (Dreta)

Per a tot trapezi

El següent conjunt de propietats són vàlides per a qualsevol trapezi:

7.- La mitjana de l'trapezi, és a dir el segment que uneix els punts mitjans dels seus costats no paral·lels, és paral·lel a qualsevol de les bases.

8.- La longitud de la mitjana és igual a la semisuma (suma dividida entre 2) de la de les seves bases.

9.- La mitjana d'un trapezi curta als seus diagonals en el punt mitjà.

10.- Les diagonals d'un trapezi s'intersecten en un punt que les divideixen en dues seccions proporcionals als quocients de les bases.

11.- La suma dels quadrats de les diagonals d'un trapezi és igual a la suma dels quadrats dels seus laterals més el doble producte de les seves bases.

12.- El segment que uneix els punts mitjans de les diagonals té longitud igual a la semidiferència de les bases.

13.- Els angles adjacents a les laterals són suplementaris.

14.- Un trapezi té circumferència inscrita si i només si la suma de les seves bases és igual a la suma dels seus laterals.

15.- Si un trapezi té circumferència inscrita, es que els angles amb vèrtex en el centre d'aquesta circumferència i costats que passin pels extrems d'una mateixa lateral, són angles rectes.

Relacions i fórmules

El següent conjunt de relacions i fórmules estan fetes a la figura 3, on a més de l'trapezi isòsceles es mostren altres segments importants ja esmentats, com diagonals, altura i mitjana.

Figura 3. Mitjana, diagonals, altura i circumferència circumscrita en un trapezi isòsceles. Font: F. Zapata.

Relacions exclusives de l'trapezi isòsceles

1.- AB = DC = c = d

2.- ∡DAB = ∡CDA i ∡ABC = ∡BCD

3.- ∡DAB + ∡BCD = 180º i ∡CDA + ∡ABC = 180º

4.- BD = AC

5.- ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α ₁

6.- A, B, C i D pertanyen a la circumferència circumscrita.

Relacions per a un trapezi qualsevol

1. Si AK = KB i DL = LC ⇒ KL - AD i KL - BC

8.- KL = (AD + BC) / 2

9.- AM = MC = AC / 2 i DN = NB = DB / 2

10.- AO / OC = AD / BC i DO / OB = AD / BC

11.- AC ² + DB ² = AB ² + DC ² + 2⋅AD⋅BC

12.- MN = (AD - BC) / 2

13.- ∡DAB + ∡ABC = 180º i ∡CDA + ∡BCD = 180º

14.- Si AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ R que equidista d'AD, BC, AB i DC

15.- Si ∃ R que equidista d'AD, BC, AB i DC, llavors:

∡BRA = ∡DRC = 90º

Relacions per trapezi isòsceles amb circumferència inscrita

Si en un trapezi isòsceles la suma de les bases és igual a el doble d'una lateral, llavors hi ha la circumferència inscrita.

Figura 4. Trapezi amb circumferència inscrita. Font: F. Zapata.

Les següents propietats s'apliquen quan el trapezi isòsceles té circumferència inscrita (veure figura 4 dalt):

16.- KL = AB = DC = (AD + BC) / 2

17.- Les diagonals es tallen en angle recte: AC ⊥ BD

18.- L'altura mesura igual que la mitjana: HF = KL, és a dir h = m.

19.- El quadrat de l'altura és igual a el producte de les bases: h ² = BC⋅AD

20.- En aquestes condicions específiques, l'àrea de l'trapezi és igual a el quadrat de l'altura o el producte de les bases: Àrea = h ² = BC⋅AD.

Fórmules per determinar una banda, coneguts els altres i un angle

Coneguda una base, la lateral i un angle, l'altra base pot determinar-se mitjançant:

a = b + 2c Cos α

b = a - 2c Cos α

Si es dóna com a dada coneguda la longitud de les bases i un angle llavors les longituds de les dues laterals és:

c = (a - b) / (2 Cos α)

Determinació d'un costat, coneguts els altres i una diagonal

a = (d ₁ ² - c ²) / b;

b = (d ₁ ² - c ²) / a

c = √ (d ₁ ² - a⋅b)

On d ₁ és la longitud de les diagonals.

Base a partir de l'altura, l'àrea i l'altra base

a = (2 A) / h - b

b = (2 A) / h - a

Lateral conegudes les bases, l'àrea i un angle

c = (2A) /

Lateral conegudes la mitjana, l'àrea i un angle

c = A / (m.sen α)

Alçada coneguts els costats

h = √

Alçada coneguts un angle i dos costats

h = tg α⋅ (a - b) / 2 = c. sin α

Diagonals coneguts tots els costats, o dos costats i un angle

d ₁ = √ (c ² + b)

d ₁ = √ (a ² + c ² - 2 ac Cos α)

d ₁ = √ (b ² + c ² - 2 bc Cos β)

Perímetre de el triangle isòsceles

P = a + b + 2c

Àrea de l'trapezi isòsceles

Hi ha diverses fórmules per calcular l'àrea, depenent de les dades que es coneguin. La següent és la més coneguda, en funció de les bases i l'altura:

A = h⋅ (a + b) / 2

I també es poden fer servir aquestes altres:

-Si es coneixen els costats

A = √

-Quan es tenen dos costats i un angle

A = (b + c Cos α) c Sen α = (a - c Cos α) c Sen α

-Si es coneix el radi de la circumferència inscrita i un angle

A = 4 r ² / Sen α = 4 r ² / Sen β

-Quan es coneixen les bases i un angle

A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β

-Si el trapezi es pot inscriure una circumferència

A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2

-Coneguda les diagonals i l'angle que formen entre si

A = (d ₁ ² /2) EXEMPLAR Sen γ = (d ₁ ² /2) EXEMPLAR Sen δ

-Quan es té la lateral, la mitjana i un angle

A = mc.sen α = mc.sen β

Radi de la circumferència circumscrita

Només els trapezis isòsceles tenen circumferència circumscrita. Si es coneix la base major a, la lateral ci la diagonal d ₁, llavors el radi R de la circumferència que passa pels quatre vèrtexs de l'trapezi és:

R = a⋅c⋅d ₁ / 4√

On p = (a + c + d ₁) / 2

Exemples d'ús de l'trapezi isòsceles

El trapezi isòsceles apareix en el camp del disseny, com s'observa a la figura 2. I aquí tenim alguns exemples addicionals:

En arquitectura i construcció

Els antics inques coneixien el trapezi isòsceles i ho van usar com a element de construcció en aquesta finestra de Cuzco, Perú:

Figura 5. Finestra amb forma trapezoïdal de l'Coricancha, Cusco. Font: Wikimedia Commons.

I aquí apareix de nou el trapezi en l'anomenada xapa trapezoïdal, un material d'ús freqüent en construcció:

Figura 6. Xapa trapezoïdal de metall protegint temporalment les finestres d'una edificació. Font: Wikimedia Commons.

en disseny

Ja vam veure que el trapezi isòsceles apareix en objectes quotidians, inclusiu aliments com aquesta barra de xocolata:

Figura 7. Barra de xocolata que les seves cares tenen forma de trapezi isòsceles. Font: Pxfuel.

exercicis resolts

- Exercici 1

Un trapezi isòsceles té base major de 9 cm, base menor de 3 cm i les seves diagonals 8 cm cadascuna. calcular:

a) Laterals

b) Alçada

c) Perímetre

d) 'Àrea

Figura 8. Esquema per a l'exercici 1. Font: F. Zapata

solució a

Es traça l'altura CP = h, on el peu de l'altura defineix els segments:

PD = x = (ab) / 2 i

AP = a - x = a - a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2.

Mitjançant el teorema de Pitàgores a el triangle rectangle DPC:

c ² = h ² + (a - b) ² /4

I també a el triangle rectangle APC:

d ² = h ² + AP ² = h ² + (a + b) ² /4

Finalment es resta membre a membre, la segona equació de la primera i es simplifica:

d ² - c ² = ¼ = ¼

d ² - c ² = ¼ = a b

c ² = d ² - b ⇒ c = √ (d ² - b) = √ (8 ^febrer - 9⋅3) = √37 = 6,08 cm

solució b

h ² = d ² - (a + b) ² /4 = 8 ² - (12 ^febrer / 2 ²) = 8 ² - 6 ² = 28

h = 2 √7 = 5,29 cm

solució c

Perímetre = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2⋅6,083 = 24,166 cm

solució d

Àrea = h (a + b) / 2 = 5,29 (12) / 2 = 31,74 cm

- Exercici 2

Es té un trapezi isòsceles la base més gran és el doble de la menor i la seva base menor és igual a l'altura, la qual és 6 cm. determinar:

a) La longitud de la lateral

b) Perímetre

c) Àrea

d) Angles

Figura 8. Esquema per a l'exercici 2. Font: F. Zapata

solució a

Dades: a = 12, b = a / 2 = 6 i h = b = 6

Es procedeix d'aquesta manera: es traça l'altura hi s'aplica el teorema de Pitàgores a el triangle d'hipotenusa «c» i catets hyx:

c ² = h ² + xc ²

Després cal calcular el valor de l'altura a partir de les dades (h = b) i el de l'catet x:

a = b + 2 x ⇒ x = (ab) / 2

Substituint les expressions anteriors es té:

c ² = b ² + (ab) ² /2 ²

Ara s'introdueixen els valors numèrics i se simplifica:

c ² = 62+ (12-6) 2/4

c ² = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)

obtenint-se:

c = 3√5 = 6,71 cm

solució b

El perímetre P = a + b + 2 c

P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61,42 cm

solució c

L'àrea en funció de l'alçada i la longitud de les bases és:

A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 cm ²

solució d

L'angle α que forma la lateral amb la base major s'obté per trigonometria:

Tan (α) = h / x = 6/3 = 2

α = arctan (2) = 63,44º

L'altre angle, el que forma la lateral amb la base menor és β, que és suplementari de α:

β = 180º - α = 180º - 63,44º = 116,56º

referències

1. EA 2003. Elements de geometria: amb exercicis i geometria de el compàs. Universitat De Medellín.
2. Camps, F. 2014. Matemàtiques 2. Grup Editorial Pàtria.
3. Freed, K. 2007. Discover Polygons. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. 2013. Generalized Polygons. Birkhäuser.
5. IGER. Matemàtica Primer Semestre Tacaná. IGER.
6. Jr. geometry. 2014. Polygons. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren, & Hornsby. 2006. Matemàtica: Raonament I Aplicacions. 10. Edició. Pearson Educació.
8. Patiño, M. 2006. Matemàtiques 5. Editorial Progrés.
9. Wikipedia. Trapezi. Recuperat de: es.wikipedia.com