TRAPEZI ESCALÈ: PROPIETATS, FÓRMULES I EQUACIONS, EXEMPLES - MATEMÀTIQUES - 2026

Un trapezi escalè és un polígon de quatre costats, dos dels quals són paral·lels entre si, i amb els seus quatre angles interiors de mesures diferents.

Tot seguit es mostra el quadrilàter ABCD, on els costats AB i DC són paral·lels entre si. Amb això n'hi ha prou perquè sigui un trapezi, però a més, els angles interiors α, β, γ i δ són tots diferents, per tant el trapezi és escalè.

Figura 1. El quadrilàter ABCD és trapezi per la condició 1 i escalè per la condició 2. Font: F. Zapata.

Elements de el trapezi escalè

A continuació els elements més característics:

-Bases i laterals: els costats paral·lels de l'trapezi són les seves bases i els dos costats no paral·lels són els laterals.

En un trapezi escalè les bases són de longituds diferents i les laterals també. No obstant això, un trapezi escalè pot tenir una lateral de la mateixa longitud que una base.

-Mediana: és el segment que uneix els punts mitjans de les laterals.

-Diagonales: la diagonal d'un trapezi és el segment que uneix dos vèrtexs oposats. Un trapezi, com tot quadrilàter, té dues diagonals. En el trapezi escalè són de diferent longitud.

altres trapezis

A més de l'trapezi escalè, hi ha altres trapezis particulars: el trapezi rectangle i el trapezi isòsceles.

Un trapezi és rectangle quan un dels seus angles és recte, mentre que trapezi isòsceles té els seus laterals d'igual longitud.

La forma trapezoïdal té nombroses aplicacions a nivell de disseny i indústria, com per exemple en la configuració de les ales dels avions, la forma d'objectes quotidians com taules, respatllers de cadires, envasos, carteres, estampats tèxtils i més.

Figura 2. La forma trapezoïdal és comú en la configuració alar dels avions. Font: Wikimedia Commons.

propietats

A continuació s'enumeren les propietats de l'trapezi escalè, moltes de les quals són extensives als altres tipus de trapezi. En el que segueix, quan es parli de «trapezi», la propietat serà aplicable a qualsevol tipus, incloent a l'escalè.

1. La mitjana de l'trapezi, és a dir el segment que uneix els punts mitjans dels seus costats no paral·lels, és paral·lel a qualsevol de les bases.

2.- La mitjana d'un trapezi té una longitud que és la semisuma de la de les seves bases i talla a les seves diagonals en el punt mitjà.

3.- Les diagonals d'un trapezi s'intersecten en un punt que les divideixen en dues seccions que són proporcionals als quocients de les bases.

4.- La suma dels quadrats de les diagonals d'un trapezi és igual a la suma dels quadrats dels seus laterals més el doble producte de les seves bases.

5.- El segment que uneix els punts mitjans de les diagonals té longitud igual a la semidiferència de les bases.

6.- Els angles adjacents a les laterals són suplementaris.

7.- En un trapezi escalè la longitud de les seves diagonals són diferents.

8.- Un trapezi té circumferència inscrita només si la suma de les seves bases és igual a la suma dels seus laterals.

9.- Si un trapezi té circumferència inscrita, llavors l'angle amb vèrtex en el centre d'aquesta circumferència i costats que passen pels extrems de la lateral de l'trapezi és recte.

10.- Un trapezi escalè no té circumferència circumscrita, l'únic tipus de trapezi que si la té és el isòsceles.

Fórmules i equacions

Les següents relacions de l'trapezi escalè estan referides a la següent figura.

1.- Si AE = ED i BF = FC → EF - AB i EF - DC.

2.- EF = (AB + DC) / 2 és a dir: m = (a + c) / 2.

3.- DI = IB = d ₁ /2 AG = GC = d ₂ /2.

4.- DJ / JB = (c / a) similarment CJ / JA = (c / a).

Figura 3. Mitjana i diagonals d'un trapezi escalè. Font: F. Zapata.

5.- DB ² + AC ² = AD ² + BC ² + 2 AB ∙ DC

equivalentment:

d ₁ ² + d ₂ ² = d ² + b ² + 2 a ∙ c

6.- GI = (AB - DC) / 2

És a dir:

n = (a - c) / 2

7.- α + δ = 180⁰ i β + γ = 180⁰

8.- Si α ≠ β ≠ γ ≠ δ llavors d1 ≠ d2.

9.- A la figura 4 es mostra un trapezi escalè que té circumferència inscrita, en aquest cas es compleix que:

a + c = d + b

10.- En un trapezi escalè ABCD amb circumferència inscrita de centre O també es compleix el següent:

∡AOD = ∡BOC = 90⁰

Figura 4. Si en un trapezi es verifica que la suma de les seves bases és igual a la suma de les laterals, llavors hi ha la circumferència inscrita al mateix. Font: F. Zapata.

alçada

Es defineix l'altura d'un trapezi com el segment que va des d'un punt de la base perpendicularment fins a la base oposada (o al seu prolongació).

Totes les altures de l'trapezi tenen la mateixa mesura h, de manera que la majoria de les vegades la paraula alçada es refereix a la seva mida. En síntesi, l'altura és la distància o separació entre les bases.

L'altura h es pot determinar si es coneix la longitud d'una lateral i un dels angles adjacents a la lateral:

h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)

mitjana

La mesura m de la mitjana de l'trapezi és la semisuma de les bases:

m = (a + b) / 2

diagonals

d ₁ = √

d ₂ = √

També es pot calcular si només es coneix la longitud dels costats de l'trapezi:

d ₁ = √

d ₂ = √

perímetre

El perímetre és la longitud total de l'contorn, és a dir la suma de tots els seus costats:

P = a + b + c + d

àrea

L'àrea d'un trapezi és la semisuma de les seves bases multiplicada per la seva altura:

A = h ∙ (a + b) / 2

També es pot calcular si es coneix la mitjana mi l'altura h:

A = m ∙ h

En cas que només es conegui la longitud dels costats de l'trapezi, l'àrea pot determinar mitjançant la fórmula d'Heró per al trapezi:

A = ∙ √

On s és el semiperímetre: s = (a + b + c + d) / 2.

Altres relacions per al trapezi escalè

El tall de la mitjana amb les diagonals i la paral·lela que passa per la intersecció de les diagonals, dóna lloc a altres relacions.

Figura 5. Altres relacions per al trapezi escalè. Font: F. Zapata.

-Relacions per a la mitjana EF

EF = (a + c) / 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2

-Relacions per al segment paral·lel a les bases KL, i que passa pel punt d' intersecció J de les diagonals

Si KL - AB - DC amb J ∈ KL, llavors KJ = JL = (a ∙ c) / (a ​​+ c)

Construcció de l'trapezi escalè amb regla i compàs

Donades les bases de longituds aic, sent a> ci amb laterals de longituds bid, sent b> d, es procedeix seguint aquests passos (veure figura 6):

1.- Amb la regla es traça el segment de la major AB.

2.- A partir de A es i sobre AB es marca el punt P de manera que AP = c.

3.- Amb el compàs amb centre a P i radi d es traça un arc.

4.- Es fa centre a B amb radi b traçant un arc que intercepti a l'arc traçat en el pas anterior. Cridem Q a punt d'intersecció.

Figura 6. Construcció de trapezi escalè donats els seus costats. Font: F. Zapata.

5.- Amb centre en A traçar un arc de radi d.

6.- Amb centre en Q traçar un arc de ràdio c que intercepti a l'arc traçat en el pas anterior. Es dirà R a punt de tall.

7.- Es tracen amb la regla els segments BQ, QR i RA.

8.- El quadrilàter ABQR és un trapezi escalè, ja que APQR és un paral el que garanteix que ABQR.

exemple

Es donen les següents longituds en cm: 7, 3, 4 i 6.

a) Determineu si amb elles es pot construir un trapezi escalè que pugui circumscriure a una circumferència.

b) Trobeu el perímetre, l'àrea, la longitud de les diagonals i l'altura d'aquest trapezi, així com el radi de la circumferència inscrita.

- Solució a

Usant els segments de longitud 7 i 3 com a bases i els de longitud 4 i 6 com a laterals, pot construir-se un trapezi escalè usant el procediment descrit en la secció prèvia.

Falta comprovar si el mateix té circumferència inscrita, però recordant la propietat (9):

Veiem que efectivament:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

Llavors es compleix la condició d'existència de circumferència inscrita.

- Solució b

perímetre

El perímetre P s'obté sumant els costats. Com les bases sumen 10 i les laterals també, el perímetre és:

P = 20 cm

àrea

Per determinar l'àrea, coneguts només els seus costats s'aplica la relació:

A = ∙ √

On s és el semiperímetre:

s = (a + b + c + d) / 2.

En el nostre cas, el semiperímetre val s = 10 cm. Després de substituir els respectius valors:

a = 7 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; d = 4 cm

queda:

A = √ = (5/2) √63 = 19,84 cm².

alçada

L'alçada h està relacionada amb l'àrea A mitjançant la següent expressió:

A = (a + c) ∙ h / 2, d'on pot obtenir-se l'altura mitjançant rebuig:

h = 2A / (a ​​+ c) = 2 * 19,84 / 10 = 3,968 cm.

Radi de la circumferència inscrita

El radi de la circumferència inscrita val la meitat de l'altura:

r = h / 2 = 1,984 cm

diagonals

Finalment es troba la longitud de les diagonals:

d ₁ = √

d ₂ = √

Substituint adequadament els valors es té:

d ₁ = √ = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)

d ₂ = √ = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)

És a dir: d ₁ = 4,69 cm i d ₂ = 8,49 cm

Figura 7. Trapezi escalè que compleix la condició d'existència de circumferència inscrita. Font: F. Zapata.

exercici resolt

Determinar els angles interiors d'el trapezi de bases AB = a = 7, CD = c = 3 i laterals BC = b = 6, DA = d = 4.

solució

Pot aplicar el teorema de l'cosinus per determinar els angles. Per exemple, l'angle ∠A = α es determina a partir de el triangle ABD amb AB = a = 7, BD = d2 = 8,49 i DA = d = 4.

El teorema de l'cosinus aplicat a aquest triangle queda així:

d ₂ ² = a ² + d ² - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), és a dir:

72 = 49 + 16-56 ∙ Cos (α).

A l'aclarir, s'obté el cosinus de l'angle α:

Cos (α) = -1/8

És a dir que α = arccos (-1/8) = 97,18⁰.

De la mateixa manera s'obtenen els altres angles, sent els seus valors:

β = 41,41⁰; γ = 138,59⁰ i finalment δ = 82,82⁰.

referències

1. CEA (2003). Elements de geometria: amb exercicis i geometria de el compàs. Universitat De Medellín.
2. Camps, F., Cerecedo, FJ (2014). Matemàtiques 2. Grup Editorial Pàtria.
3. Freed, K. (2007). Discover Polygons. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Generalized Polygons. Birkhäuser.
5. IGER. (Sf). Matemàtica Primer Semestre Tacaná. IGER.
6. Jr. geometry. (2014). Polygons. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren, & Hornsby. (2006). Matemàtica: Raonament I Aplicacions (Desena Edició). Pearson Educació.
8. Patiño, M. (2006). Matemàtiques 5. Editorial Progrés.
9. Wikipedia. Trapezi. Recuperat de: es.wikipedia.com