TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER: PROPIETATS, APLICACIONS, EXEMPLES - MATEMÀTIQUES - 2025

La transformada discreta de Fourier és un mètode numèric utilitzat per definir mostrejos referents a les freqüències espectrals que componen un senyal. Estudia funcions periòdiques en paràmetres tancats, llançant com a resultat una altra senyal discret.

Per poder obtenir la transformada discreta de Fourier de N punts, sobre un senyal discret, s'han de complir les següents 2 condicions sobre una seqüència x

TDF

Es pot definir a la transformada discreta de Fourier com un mostreig en N punts de la transformada de Fourier.

Interpretació de la transformada discreta de Fourier

Font: Pexels

Existeixen 2 punts de vista des dels quals es poden interpretar els resultats obtinguts sobre una seqüència x _s a través de la transformada discreta de Fourier.

-El primer correspon als coeficients espectrals, ja coneguts de la sèrie de Fourier. S'observa en senyals periòdiques discretes, amb mostrejos coincidents amb la seqüència x _s.

-La segona tracta sobre l'espectre d'un senyal aperiòdica discreta, amb mostrejos corresponents a la seqüència x _s.

La transformada discreta és una aproximació a l'espectre del senyal analògic original. La seva fase depèn dels instants de mostreig, mentre que la seva magnitud depèn de l'interval de mostreig.

propietats

Els fonaments algebraics d'estructura componen les bases lògiques dels següents apartats.

linealitat

C. S _n → C. F; Si una seqüència està multiplicada per un escalar, la seva transformada també ho estarà.

T _n + V _n = F + F; La transformada d'una suma és igual a la suma de les transformades.

dualitat

F → (1 / N) S _-k; Si a una expressió ja transformada se li recalcula la transformada discreta de Fourier, s'obté la mateixa expressió, escalada en N i invertida respecte a l'eix vertical.

convolució

Perseguint objectius similars que en la transformada de Laplace, la convolució de funcions es refereix a l'producte entre els seus transformades de Fourier. La convolució també s'aplica per a temps discrets i és responsable de molts procediments moderns.

X _n * R _n → F.F; La transformada d'una convolució és igual a el producte de les transformades.

X _n. R _n → F * F; La transformada d'un producte és igual a la convolució de les transformades.

desplaçament

X _n-m → F i ^{-i (2π / N) km}; Si una successió es retardada en m mostres, el seu efecte en la transformada discreta serà una modificació de l'angle definit per (2π / N) km.

simetria

X _t = X * _t = X _t

modulació

W ^-nm _N. x ↔ X _t

producte

xi ↔ (1 / N) X _t * I _t

simetria

X ↔ X _t = X * _t

conjugat

x * ↔ X * _t

Equació de Parseval

Pel que fa a la transformada convencional de Fourier posseeix diverses similituds i diferències. La transformada de Fourier converteix una seqüència en una línia contínua. D'aquesta manera es diu que el resultat de la variable de Fourier és una funció complexa de variable real.

La transformada discreta de Fourier a diferència, rep un senyal discret i la transforma en una altra senyal discret, és a dir una seqüència.

Per a què serveix la transformada discreta de Fourier?

Serveixen principalment per simplificar de manera notable les equacions, mentre transforma expressions derivades en elements de potència. Denotant expressions diferencials en formes de polinomis integrables.

En l'optimització, modulació i modelació de resultats actua com a expressió estandarditzada, sent un recurs freqüent per a l'enginyeria després de diverses generacions.

Font: pixabay

història

Aquest concepte matemàtic va ser presentat per Joseph B. Fourier en l'any 1811, mentre desenvolupava un tractat referent a la propagació de calor. Ràpidament va ser adoptat per diverses branques de la ciència i enginyeria.

Es va establir com a principal eina de treball en l'estudi de les equacions amb derivades parcials, comparant-fins i tot amb la relació de treball existent entre la transformada de Laplace i les equacions diferencials ordinàries.

Tota funció que pugui ser treballada amb transformada de Fourier de presentar nul·litat fora d'un paràmetre definit.

Transformada discreta de Fourier i la seva inversa

La transformada discreta s'obté a través de l'expressió:

Després d'donada una seqüència discreta X

La inversa de la transformada discreta de Fourier es defineix a través de l'expressió:

TDF inversa

Permet un cop aconseguida la transformada discreta, definir la seqüència en el domini de el temps X.

Enfinestrat

El procés de parametrització corresponent a la transformada discreta de Fourier rau en el enfinestrat. Per treballar la transformada hem de limitar a temps a la seqüència. En molts casos els senyals en qüestió no compten amb aquestes limitacions.

Una successió que no compleix amb els criteris de mida per aplicar a la transformada discreta, pot ser multiplicada per una funció "finestra" V, definint el comportament de la successió en un paràmetre controlat.

X. V

L'ample de l'espectre serà dependent de l'amplada de la finestra. A mesura que l'ample de la finestra augmenti, la transformada calculada serà més estreta.

aplicacions

Càlcul de la solució fonamental

La transformada discreta de Fourier és una potent eina en l'estudi de successions discretes.

La transformada discreta de Fourier transforma una funció variable contínua, en una transformada de variable discreta.

El problema de Cauchy per l'equació de la calor presenta un camp d'aplicació freqüent de la transformada discreta de Fourier . On es genera la funció nucli de calor o nucli de Dirichlet, la qual aplica per mostrejos de valors en un paràmetre definit.

Teoria del senyal

El motiu general de l'aplicació de la transformada discreta de Fourier en aquesta branca s'ha de majorment a la descomposició característica d'un senyal com superposició infinita de senyals més fàcilment tractables.

Pot tractar-se d'una ona de so o una ona electromagnètica, la transformada discreta de Fourier l'expressa en una superposició d'ones simples. Aquesta representació és bastant freqüent en enginyeria elèctrica.

La sèrie de Fourier

Són sèries definides en termes de cosinus i Sins. Serveixen per facilitar el treball amb funcions periòdiques generals. A l'aplicar formen part de les tècniques de resolució d'equacions diferencials parcials i ordinàries.

Les sèries de Fourier són fins i tot més generals que les sèries de Taylor, a causa que desenvolupen funcions discontínues periòdiques que no tenen representació en sèries de Taylor.

Altres formes de la sèrie de Fourier

Per comprendre analíticament la transformada de Fourier és important revisar les altres formes en què es pot trobar a la sèrie de Fourier, fins a poder definir la sèrie de Fourier en el seu notació complexa.

-Sèrie de Fourier sobre una funció de període 2L:

Es considera l'interval el qual ofereix avantatges a l'hora d'aprofitar les característiques simètriques de les funcions.

Si f és parell s'estableix la sèrie de Fourier com una sèrie de cosinus.

Si f és senar s'estableix la sèrie de Fourier com una sèrie de Pit.

-Notación complexa de la sèrie de Fourier

Si es té una funció f (t), que compleix amb tots els requeriments de la sèrie de Fourier, és possible denotarla en l'interval utilitzant la seva notació complexa:

exemples

Pel que fa a el càlcul de la solució fonamental es presenten els següents exemples:

D'altra banda, són exemples d'aplicació de la transformada discreta de Fourier en l'àmbit de la teoria del senyal dels següents:

-Problemes d'identificació de sistema. establertes fig

-Problema amb la consistència del senyal de sortida

-Problemes amb el filtratge del senyal

exercicis

exercici 1

Calcular la transformada discreta de Fourier per a la següent successió.

Es pot definir la TDF de x com:

X _t = {4, -j2, 0, j2} per k = 0, 1, 2, 3

exercici 2

Es vol determinar a través d'un algoritme digital del senyal espectral definida per l'expressió x (t) = i ^-t. On la freqüència màxima que sol·licita coeficient és f _m = 1Hz. Correspon un harmònic af = 0.3 Hz. L'error es delimita a menys de el 5%. Calcular f _s, D i N.

Tenint en compte el teorema de l'mostreig f _s = 2f _m = 2 Hz

S'escull una resolució freqüencial de f ₀ = 0.1 Hz, d'on s'obté D = 1 / 0,1 = 10s

0.3 Hz és la freqüència corresponent a l'índex k = 3, on N = 3 × 8 = 24 mostrejos. Indicant que f _s = N / D = 24/10 = 2.4> 2

A causa de que la finalitat és aconseguir el menor valor possible per a N, es poden considerar els següents valors com a solució:

f ₀ = 0.3 Hz

D = 1 / 0.3 = 3.33s

k = 1

N = 1 × 8 = 8

referències

1. Mastering the Discrete Fourier Transform in One, Two or Several Dimensions: Pitfalls and Artifacts. Isaac Amidror. Springer Science & Business Media, 19 jul. 2013
2. The DFT: An Owners 'Manual for the Discrete Fourier Transform. William L. Briggs, Van Emden Henson. SIAM, 1 ena. 1995
3. Digital Signal Processing: Theory and Practice. D. Sundararajan. World Scientific, 2003
4. Transforms and Fast Algorithms for Signal Analysis and Representations. Guoan Bi, Yonghong Zeng. Springer Science & Business Media, 6 des. 2012
5. Discrete and Continuous Fourier Transforms: Analysis, Applications and Fast Algorithms. Eleanor Chu. CRC Press, 19 mar. 2008