TRANSFORMADA DE LAPLACE: DEFINICIÓ, HISTÒRIA I PER A QUÈ SERVEIX - MATEMÀTIQUES - 2026

La transformada de Laplace ha estat en els últims anys de gran importància en els estudis d'enginyeria, matemàtica, física, entre d'altres àrees científica, ja que a més de ser de gran interès en la teoria, proporciona una manera senzilla de resoldre problemes que vénen de les ciències i enginyeries.

Originalment la transformada de Laplace va ser presentada per Pierre-Simon Laplace en el seu estudi sobre la teoria de la probabilitat i en principi va ser tractada com un objecte matemàtic d'interès merament teòric.

Les aplicacions actuals sorgeixen quan diversos matemàtics van tractar de donar una justificació formal a les "regles operacionals" usades per Heaviside en l'estudi d'equacions de la teoria electromagnètica.

definició

Sigui f una funció definida per at ≥ 0. La transformada de Laplace es defineix com segueix:

Es diu que la Transformada de Laplace existeix si la integral anterior convergeix, en cas contrari es diu que la transformada de Laplace no existeix.

En general, per a denotar la funció que es vol transformar s'usen lletres minúscules i la lletra majúscula correspon a la seva transformada. D'aquesta manera tindrem:

exemples

Penseu en la funció constant f (t) = 1. Tenim que el seu transformada és:

Sempre que la integral convergeixi, és a dir sempre que s> 0. En cas contrari, s <0, la integral divergeix.

Sigui g (t) = t. La seva transformada de Laplace ve donada per

A l'integrar per parts i sabent que et ^-st tendeix a 0 quan t tendeix a infinit i s> 0, juntament amb l'exemple anterior tenim que:

La transformada pot o no existir, per exemple per a la funció f (t) = 1 / t la integral que defineix la seva transformada de Laplace no convergeix i per tant la seva transformada no existeix.

Les condicions suficients per garantir que la transformada de Laplace d'una funció f existeixi, són que f sigui contínua per parts per at ≥ 0 i sigui d'ordre exponencial.

Es diu que una funció és contínua per parts per at ≥ 0, quan per a qualsevol interval amb a> 0, hi ha un nombre finit de punts t _k, on f té discontinuïtats i és contínua en cada subinterval.

D'altra banda, es diu que una funció és d'ordre exponencial c si existeixen constants reals M> 0, c T> 0 tal que:

Com a exemples hem de f (t) = t ² és d'ordre exponencial, ja que t ² - <i ^3t per a tot t> 0.

De manera formal tenim el següent teorema

Teorema (Condicions suficients per a l'existència)

Si f és una funció contínua per part per t> 0 i d'ordre exponencial c, llavors hi ha la transformada de Laplace per s> c.

És important ressaltar que aquesta és una condició de suficiència, és a dir que podria donar-se el cas en què hi hagi una funció que no compleixi aquestes condicions i així i tot la seva transformada de Laplace existeixi.

Un exemple d'això és la funció f (t) = t ^-1/2 que no és contínua per parts per at ≥ 0 però la seva transformada de Laplace existeix.

Transformada de Laplace d'algunes funcions bàsiques

A la següent taula es mostren les transformades de Laplace de les funcions més comuns.

història

La transformada de Laplace deu el seu nom a Pierre-Simon Laplace, matemàtic i astrònom teòric francès que va néixer el 1749 i va morir l'any 1827. La seva fama era tal que va ser conegut com el Newton de França.

En 1744 Leonard Euler va dedicar els seus estudis a integrals amb la forma

com solucions d'equacions diferencials ordinàries, però ràpidament va abandonar aquesta investigació. Més endavant, Joseph Louis Lagrange, qui admirava molt a Euler, també va investigar aquest tipus d'integrals i les va relacionar amb la teoria de la probabilitat.

1782, Laplace

L'any 1782 Laplace va començar a estudiar aquestes integrals com solucions a equacions diferencials i segons els historiadors, l'any 1785 va decidir reformular el problema, el que després va donar naixement a les transformades de Laplace com avui s'entenen.

A l'haver estat introduïdes en el camp de la teoria de la probabilitat, va ser de poc interès per als científics de el moment i només va ser vist com un objecte matemàtic d'sol interès teòric.

Oliver Heaviside

Va ser a mitjan el segle XIX quan l'enginyer anglès Oliver Heaviside va descobrir que els operadors diferencials poden ser tractats com a variables algebraiques, donant-li així la seva moderna aplicació a les transformades de Laplace.

Oliver Heaviside va ser un físic, enginyer elèctric i matemàtic anglès que va néixer el 1850 a Londres i va morir l'any 1925. Mentre intentava resoldre problemes d'equacions diferencials aplicades a la teoria de vibracions i usant els estudis de Laplace, va començar a donar forma a les aplicacions modernes de les transformades de Laplace.

Els resultats exposats per Heaviside es van escampar ràpidament per tota la comunitat científica de l'època, però a l'ésser seu treball poc rigorós va ser ràpidament criticat pels matemàtics més tradicionals.

No obstant això, la utilitat de la feina de Heaviside a l'hora de resoldre equacions de la física va fer que els seus mètodes fossin populars entre els físics i enginyers.

Malgrat aquests contratemps i després d'algunes dècades d'intents fallits, a principis de segle XX se li va poder donar una justificació rigorosa a les regles operacionals donades per Heaviside.

Aquests intents van donar els seus fruits gràcies als esforços de matemàtics diversos com Bromwich, Carson, van der Pol, entre d'altres.

propietats

Entre les propietats de la transformada de Laplace destaquen les següents:

linealitat

Siguin c1 i c2 constants if (t) ig (t) funcions les transformades de Laplace són F (s) i G (s) respectivament, llavors s'ha de:

A causa d'aquesta propietat es diu que la transformada de Laplace és un operador lineal.

exemple

Primer teorema de translació

Si passa que:

I 'a' és qualsevol nombre real, llavors:

exemple

Com la transformada de Laplace de cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) llavors:

Segon teorema de translació

si

llavors

exemple

Si f (t) = t ^ 3, llavors F (s) = 6 / s ^ 4. I per tant, la transformada de

és G (s) = 6e ^-2s / s ^ 4

Canvi d'escala

si

I 'a' és un real diferent de zero, hem de

exemple

Com la transformada de f (t) = sin (t) és F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) s'ha de

ransformada de Laplace de les derivades

Si f, f ', f' ',…, f ⁽ⁿ⁾ són contínues per at ≥ 0 i són d'ordre exponencial f ⁽ⁿ⁾ (t) és contínua per parts per at ≥ 0, llavors

Transformada de Laplace d'integrals

si

llavors

Multiplicació per t

Si hem de

llavors

Divisió per t

Si hem de

llavors

funcions periòdiques

Sigui f una funció periòdica amb període T> 0, és a dir f (t + T) = f (t), llavors

Comportament de F (s) quan s tendeix a infinit

Si f és contínua per parts i d'ordre exponencial i

llavors

transformades inverses

Quan apliquem la transformada de Laplace a una funció f (t) obtenim a F (s), la qual representa aquesta transformada. De la mateixa manera podem dir que f (t) és la transformada de Laplace inversa de F (s) i s'escriu com

Sabem que les transformades de Laplace de f (t) = 1 i g (t) = t són F (s) = 1 / si G (s) = 1 / s ² respectivament, per tant hem de

Algunes transformades de Laplace inverses comuns són les següents

A més, la transformada de Laplace inversa és lineal, és a dir es compleix que

exercici

trobi

Per resoldre aquest exercici hem de fer coincidir la funció F (s) amb alguna de la taula anterior. En aquest cas si prenem an + 1 = 5 i usant la propietat de linealitat de la transformada inversa, multipliquem i dividim per 4! obtenint

Per a la segona transformada inversa apliquem fraccions parcials per reescriure la funció F (s) i després la propietat de la linealitat, obtenint

Com podem observar d'aquests exemples és comú que la funció F (s) que s'avalua no concordi precisament amb alguna de les funcions donades a la taula. Per a aquests casos, com s'observa, només cal reescriure la funció fins arribar a la forma adequada.

Aplicacions de la transformada de Laplace

equacions diferencials

La principal aplicació que posseeixen les transformades de Laplace és per resoldre equacions diferencials.

Usant la propietat de la transformada d'una derivada és clar que

I de les n-1 derivades avaluades en t = 0.

Aquesta propietat fa que la transformada sigui de gran utilitat per a la resolució de problemes de valors inicials on estiguin involucrades equacions diferencials amb coeficients constants.

Els següents exemples mostren com utilitzar la transformada de Laplace per resoldre equacions diferencials.

exemple 1

Donat el següent problema de valor inicial

Utilitza la transformada de Laplace per trobar la solució.

Apliquem la transformada de Laplace a cada membre de l'equació diferencial

Per la propietat de la transformada d'una derivada tenim

A l'desenvolupar tota l'expressió i aclarir I (s) ens queda

Usant fraccions parcials per reescriure el costat dret de l'equació obtenim

Finalment, el nostre objectiu és trobar una funció i (t) que satisfaci l'equació diferencial. Usant la transformada de Laplace inversa ens dóna com a resultat

exemple 2

resolgui

Com en el cas anterior, apliquem la transformada en ambdós costat de l'equació i separem terme a terme.

D'aquesta manera tenim com a resultat

Substituint amb els valors inicials donats i aclarint I (s)

Usant fraccions simples podem reescriure com segueix l'equació

I aplicant la transformada inversa de Laplace ens dóna com a resultat

En aquests exemples es podria arribar a la conclusió equivocada que aquest mètode no és molt millor que els mètodes tradicionals per resoldre equacions diferencials.

Els avantatges que ofereix la transformada de Laplace és que no cal fer servir variació de paràmetres o preocupar-se pels diversos casos d'el mètode de coeficients indeterminats.

A més a l'resoldre problemes de valor inicial per aquest mètode, des del principi fem servir les condicions inicials, de manera que no cal fer altres càlculs per trobar la solució particular.

Sistemes d'equacions diferencials

La transformada de Laplace també pot ser utilitzada per trobar solucions a equacions diferencials ordinàries simultànies, com mostra el següent exemple.

exemple

resoldre

Amb les condicions inicials x (0) = 8 ei (0) = 3.

Si hem de

llavors

Resolent ens dóna com a resultat

I a l'aplicar la transformada inversa de Laplace tenim

Mecànica i circuits elèctrics

La transformada de Laplace és de gran importància en la física, principalment té aplicacions per a la mecànica i els circuits elèctrics.

Un circuit elèctric simple està compost dels següents elements

Un interruptor, una bateria o font, un inductor, una resistència i un capacitor. Quan l'interruptor és tancat es produeix un corrent elèctric que es denota per i (t). La càrrega de l'capacitor es denota per q (t).

Per la segona llei de Kirchhoff el voltatge produït per la font I a l'circuit tancat ha de ser igual a la suma de cadascuna de les caigudes de voltatge.

El corrent elèctric i (t) es relaciona amb la càrrega q (t) en el capacitor mitjançant i = dq / dt. D'altra banda, es defineix la caiguda de voltatge en cada un dels elements com segueix:

La caiguda de voltatge en una resistència és · R = R (dq / dt)

La caiguda de voltatge en un inductor és L (di / dt) = L (d ² q / dt ²)

La caiguda de voltatge en un capacitor és q / C

Amb aquestes dades i aplicant la segona llei de Kirchhoff a l'circuit simple tancat s'obté una equació diferencial de segon ordre que descriu el sistema i ens permet determinar el valor de q (t).

exemple

Un inductor, 1 capacitor i una resistència es connecten a una bateria I, com es mostra a la figura. L'inductor és de 2 henries, el capacitor de 0,02 farads i la resistència de 16 onhmios. En l'instant t = 0 es tanca el circuit. Trobar la càrrega i el corrent en qualsevol temps t> 0 si E = 300 volts.

Hem de l'equació diferencial que descriu aquest circuit és la següent

On les condicions inicials són q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Aplicant la transformada de Laplace aconseguim que

I buidant Q (t)

Després, aplicant la transformada inversa de Laplace tenim

referències

1. G.Holbrook, J. (1987). Transformada de Laplace per enginyers en electrònica. Limusa.
2. Ruiz, LM, & Hernandez, MP (2006). Equacions diferencials i transformada de Laplace amb aplicacions. Editorial UPV.
3. Simmons, GF (1993). Equacions diferencials amb aplicacions i notes històriques. McGraw-Hill.
4. Spiegel, MR (1991). Transformades de Laplace. McGraw-Hill.
5. Zill, DG, & Cullen, MR (2008). Equacions diferencials amb problemes de valors a la frontera. Cengage Learning Editors, SA