TRANSFORMACIONS ISOMÈTRIQUES: COMPOSICIÓ, TIPUS I EXEMPLES - MATEMÀTIQUES - 2026

Les transformacions isomètriques són canvis de posició o orientació d'una determinada figura que no alteren ni la forma ni la mida d'aquesta. Aquestes transformacions són classificades en tres tipus: translació, rotació i reflexió (isometria). En general, les transformacions geomètriques permeten crear una nova figura a partir d'una altra donada.

Una transformació en una figura geomètrica vol dir que, d'alguna manera, aquesta va ser sotmesa a algun canvi; és a dir, que va ser alterada. Segons el sentit de l'original i el semblant en el pla, les transformacions geomètriques poden classificar-se en tres tipus: isomètriques, isomòrfiques i anamòrfiques.

Característiques

Les transformacions isomètriques es produeixen quan es conserven les magnituds dels segments i els angles entre la figura original i la transformada.

En aquest tipus de transformació no s'altera ni la forma ni la mida de la figura (són congruents), només es tracta d'un canvi de posició d'aquesta, bé sigui en l'orientació o al sentit. D'aquesta manera, la figura inicial i la final seran semblants i geomètricament congruents.

La isometria fa referència a la igualtat; és a dir, que les figures geomètriques seran isomètriques si posseeixen la mateixa forma i grandària.

En les transformacions isomètriques l'única cosa que es pot observar és un canvi de posició en el pla, ocorre un moviment rígid gràcies a el qual la figura passa d'una posició inicial a una final. Aquesta figura és cridada homòloga (semblant) de l'original.

Hi ha tres tipus de moviments que classifiquen una transformació isomètrica: translació, rotació i reflexió o simetria.

tipus

per translació

Són aquelles isometries que permeten desplaçar en línia recta tots els punts de l'pla en una direcció i distància determinada.

Quan una figura es transforma per translació aquesta no canvia la seva orientació amb relació a la posició inicial, ni tampoc perd les seves mesures internes, les mesures dels seus angles i costats. Aquest tipus de desplaçament és definit per tres paràmetres:

- Una direcció, que pot ser horitzontal, vertical o obliqua.

- Un sentit, que pot ser cap a l'esquerra, la dreta, amunt o avall.

- Distància o magnitud, que és la longitud que hi ha des de la posició inicial fins a la final de qualsevol punt que es desplaça.

Perquè una transformació isomètrica per translació es compleixi ha de complir les següents condicions:

- La figura sempre ha de conservar totes les seves dimensions, tant lineals com angulars.

- La figura no canvia la seva posició respecte a l'eix horitzontal; és a dir, el seu angle mai varia.

- Les translacions sempre seran resumides en una sola, sense importar el nombre de translacions que es facin.

En un pla on el centre és un punt O, amb coordenades (0,0), la translació queda definida per un vector T (a, b), que indica el desplaçament del punt inicial. És a dir:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, i + b)

Per exemple, si a el punt de coordenades P (8, -2) se li aplica una translació T (-4, 7), s'obté:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '= P' (4, 5)

A la següent imatge (esquerra) es pot observar com el punt C es va traslladar fins a coincidir amb el Sr. Ho va fer en direcció vertical, el sentit va anar cap amunt i la distància o magnitud CD va ser de 8 metres. A la imatge dreta s'observa la translació d'un triangle:

per rotació

Són aquelles isometries que permeten a la figura girar tots els punts d'un pla. Cada punt gira seguint un arc que té un angle constant i un punt fix (centre de gir) determinats.

És a dir, tota rotació va estar definida pel seu centre de rotació i angle de gir. Quan una figura es transforma per rotació, manté la mesura dels seus angles i costats.

La rotació ocorre en un sentit determinat, és positiva quan el gir és antihorari (sentit contrari a com giren les manetes de el rellotge) i negativa quan el seu gir és en sentit horari.

Si un punt (x, y) és rotat pel que fa a l'origen, és a dir, el seu centre de rotació és (0,0) -, en un angle de 90 ^o a 360 ^o les coordenades dels punts seran:

En el cas en què la rotació no té centre en l'origen, s'ha de traslladar l'origen de el sistema de coordenades a el nou origen donat, per així poder rotar la figura tenint com a centre l'origen.

Per exemple, si a el punt P (-5,2) se li aplica una rotació de 90 ^o, al voltant de l'origen i en sentit positiu les seves coordenades noves seran (-2,5).

Per reflexió o simetria

Són aquelles transformacions que inverteixen els punts i figures de el pla. Aquesta inversió pot ser respecte a un punt o també pot ser respecte a una recta.

En altres paraules, en aquest tipus de transformació cada punt de la figura original s'associa a un altre punt (imatge) de la figura homòloga, de tal manera que el punt i la seva imatge es troben a la mateixa distància d'una recta anomenada eix de simetria.

Així, la part esquerra de la figura serà un reflex de la part dreta, sense canviar la seva forma ni les seves dimensions. La simetria transforma una figura en una altra igual encara que en sentit invers, com es pot observar en la següent imatge:

La simetria és present en molts aspectes, com en algunes plantes (gira-sols), animals (paó) i fenòmens naturals (flocs de neu). L'ésser humà la reflecteix a la cara, la qual cosa és considerat com un factor de bellesa. La reflexió o simetria pot ser de dos tipus:

simetria central

És aquella transformació que passa respecte a un punt, en què la figura pot canviar la seva orientació. Cada punt de la figura original i la seva imatge es troben a la mateixa distància d'un punt O, anomenat centre de simetria. La simetria és central quan:

- Tant el punt com la seva imatge i centre pertanyen a una mateixa recta.

- Amb una rotació de 180 ^o de centre O s'obté una figura igual a l'original.

- Els traços de la figura inicial són paral·lels amb els traços de la figura formada.

- El sentit de la figura no canvia, sempre serà en sentit horari.

Composició d'una rotació

La composició de dos girs amb el mateix centre té com a resultat un altre gir, que posseeix el mateix centre i l'amplitud serà la suma de les amplituds dels dos girs.

Si el centre els girs té diferent centre, el tall de la mediatriu de dos segments de punts semblants serà el centre de gir.

Composició d'una simetria

En aquest cas, la composició dependrà de com sigui aplicada:

- Si s'aplica la mateixa simetria dues vegades, el resultat serà una identitat.

- Si s'apliquen dues simetries respecte a dos eixos paral·lels el resultat serà una translació, i el seu desplaçament és el doble de la distància d'aquests eixos:

- Si s'apliquen dues simetries respecte a dos eixos que es tallen en el punt O (centre), s'obtindrà una rotació amb centre a O i el seu angle serà el doble de l'angle que formen els eixos:

referències

1. V Burgués, JF (1988). Materials per construir la geometria. Madrid: Síntesi.
2. Cesar Calavera, IJ (2013). Dibuix Tècnic II. Paranimf SA: Edicions de la Torre.
3. Coxeter, H. (1971). Fonaments de Geometria. Mèxic: Limusa-Wiley.
4. Coxford, A. (1971). Geometry A Transformation Approach. USA: Laidlaw Brothers.
5. Liliana Siñeriz, RS (2005). Inducció i formalització en l'ensenyament de les transformacions rigidas a l'entorn CABRI.
6. , PJ (1996). El grup de les isometries de el pla. Madrid: Síntesi.
7. Suárez, AC (2010). Transformacions en el pla. Gurabo, Puerto Rico: AMCT.