- Demostració de l'teorema fonamental de l'aritmètica
- Unicitat de la descomposició en factors primers
- aplicacions
- Els nombres primers en la naturalesa
- Els nombres primers i les compres en línia
- exercicis resolts
- - Exercici 1
- solució
- - Exercici 2
- solució
- referències
El teorema fonamental de l'aritmètica afirma que qualsevol nombre natural més gran que 1 es pot descompondre com un producte de nombres primers -podent repetir alguns- i aquesta forma és única per a aquest número, tot i que l'ordre dels factors pugui ser diferent.
Recordem que un nombre primer p és aquell que només admet com a divisors positius a si mateix i als el 1. Els següents nombres són primers: 2, 3, 5, 7, 11, 13 i així successivament, ja que hi ha infinits. El número 1 no es considera cosí, per tenir un únic divisor.
Figura 1. Euclides (esquerra) va demostrar el teorema fonamental de l'aritmètica en el seu llibre Elements (350 aC), i la primera demostració completa es deu a Carl F. Gauss (1777-1855) (dreta). Font: Wikimedia Commons.
Per la seva banda, als números que no compleixen l'anterior se'ls denomina nombres compostos, com a 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14… Prenguem el nombre 10 per exemple i immediatament veiem que es pot descompondre com a producte de 2 i 5:
10 = 2 × 5
Tant el 2 com el 5 són, efectivament, nombres primers. El teorema afirma que això és possible per a qualsevol nombre n:
On p 1, p 2, p 3… p r són nombres primers i k 1, k 2, k 3,… k r són nombres naturals. De manera que els nombres primers actuen com els maons a partir dels quals, mitjançant la multiplicació, es construeixen els nombres naturals.
Demostració de l'teorema fonamental de l'aritmètica
Es comença demostrant que tot nombre es pot descompondre en factors primers. Sigui un nombre natural n> 1, primer o compost.
Per exemple si n = 2, es pot expressar com: 2 = 1 × 2, que és primer. De la mateixa manera es procedeix amb els següents números:
3 = 1 × 3
4 = 2 × 2
5 = 1 × 5
6 = 2 × 3
7 = 1 × 7
8 = 2 × 2 × 2
Seguim així, descomponent tots els nombres naturals fins a arribar a el nombre n -1. Vegem si podem fer-ho amb el nombre que segueix: n.
Si n és primer, el podem descompondre com n = 1 × n, però suposem que n és compost i té un divisor d, lògicament menor que n:
1 <d <n.
Si n / d = p 1, amb p 1 un nombre primer, llavors n s'escriu com:
n = p 1.d
Si d és primer ja no hi ha més que fer, però si no ho és, hi ha un nombre n 2 que és divisor de di menor que aquest: n 2 <d, per la qual cosa d podrà escriure com el producte de n 2 d'altra nombre primer p 2:
d = p 2 n 2
Que a l'substituir en el nombre original n donaria:
n = p 1.p 2.n 2
Ara suposem que n 2 tampoc és un nombre primer i ho escrivim com el producte d'un nombre primer p 3, per un divisor seu n 3, tal que n 3 <n 2 <n 1 <n:
n 2 = p 3.n 3 → n = p 1 p 2 p 3.n 3
Repetim aquest procediment un nombre finit de vegades fins a obtenir:
n = p 1.p 2.p 3… p r
Això vol dir que sí que és possible descompondre tots els números enters des del 2 fins al nombre n, com un producte de nombres primers.
Unicitat de la descomposició en factors primers
Verifiquem ara que excepte l'ordre dels factors, aquesta descomposició és única. Suposem que n es pot escriure de dues maneres:
n = p 1.p 2.p 3… p r = q 1. q 2.q 3…..q s (amb r ≤ s)
Per descomptat q 1, q 2, q 3… són nombres primers també. Com p 1 divideix a (q 1. q 2.q 3…..q s) llavors p 1 és igual a algun dels "q", no importa a quin, així que podem dir que p 1 = q 1. Dividim n entre p 1 i obtenim:
p 2.p 3… p r = . q 2.q 3…..q s
Repetim el procediment fins dividir tot entre p r, llavors obtenim:
1 = q r + 1… q s
Però no és possible arribar aq r +1… q s = 1 quan r <s, només si r = s. Encara que a l'admetre que r = s, també s'admet que els "p" i els "q" són els mateixos. Per tant la descomposició és única.
aplicacions
Com hem dit abans, els nombres primers representen si es vol, els àtoms dels nombres, els seus components bàsics. Així que el teorema fonamental de l'aritmètica té nombroses aplicacions, la més òbvia: podem treballar més fàcilment amb nombres grans si els expressem com el producte de nombres més petits.
De la mateixa manera podem trobar el màxim comú múltiple (mcm) i el màxim comú divisor (MCD), un procediment que ens ajuda a fer sumes de fraccions amb més facilitat, trobar arrels de nombres grans, o bé operar amb radicals, racionalitzar i resoldre problemes d'aplicació d'índole molt diversa.
A més els nombres primers són summament enigmàtics. No es reconeix encara un patró en ells i no és possible saber quin serà el següent. El major fins als moments va ser trobat mitjançant computadores i té 24.862.048 dígits, encara que els nous nombres primers apareixen amb menys freqüència cada vegada.
Els nombres primers en la naturalesa
Les cigales, cicádidos o cigales que viuen al nord-est dels Estats Units emergeixen en cicles de 13 o 17 anys. Tots dos són nombres primers.
D'aquesta manera les cigales eviten coincidir amb predadors o competidors que tenen altres períodes de naixement, ni tampoc les diverses varietats de cigala competeixen entre si, ja que no coincideixen durant el mateix any.
Figura 2. La cigala Magicicada de l'est dels Estats Units emergeix cada 13 o 17 anys. Font: Pxfuel.
Els nombres primers i les compres en línia
Els nombres primers s'utilitzen en criptografia per mantenir en secret els detalls de la targeta de crèdit a l'realitzar compres per Internet. D'aquesta manera les dades que d'el comprador arriben precisament a la botiga sense perdre o caure en mans de persones sense escrúpols.
Com? Les dades de les targetes són codificats en un nombre N que pot expressar-se com el producte de nombres primers. Aquests nombres primers són la clau que revelen les dades, però són desconeguts per al públic, només poden ser descodificats a la web a la qual van dirigits.
Descompondre un nombre en factors és una tasca fàcil si els números són petits (llista de exercicis resolts), però en aquest cas es fan servir com a clau nombres primers de 100 dígits, que a l'multiplicar-los donen nombres molt més grans, la descomposició detallada suposa una tasca descomunal.
exercicis resolts
- Exercici 1
Descompondre 1029 en factors primers.
solució
1029 és divisible per 3. Se sap perquè a l'sumar els seus dígits la suma és múltiple de 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12. Com l'ordre dels factors no altera el producte, podem començar per allà:
1029 3
343
1029 = 3 × 343
D'altra banda 343 = 7 3, llavors:
1029 = 3 × 7 3 = 3 × 7 × 7 × 7
I ja que tant 3 com 7 són nombres primers, aquesta és la descomposició de 1029.
- Exercici 2
Factoritzar el trinomi x 2 + 42x + 432.
solució
El trinomi es reescriu de la forma (x + a). (X + b) i necessitem trobar els valors de aib, de tal manera que:
a + b = 42; ab = 432
El nombre 432 es descompon en factors primers i d'allí es tria, per tempteig, la combinació adequada perquè els factors sumats donin 42.
432 = 2 4 × 3 3 = 2 × 3 3 × 2 3 = 2 4 × 3 2 × 3 =…
A partir d'aquí hi ha diverses possibilitats per escriure 432:
432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72….
I totes es poden trobar combinant productes entre els factors primers, però per resoldre l'exercici proposat, l'única combinació adequada és: 432 = 24 × 18 ja que 24 + 18 = 42, llavors:
x 2 + 42x + 432 = (x + 24). (x +18)
referències
- Baldor, A. 1986. Aritmètica teòric pràctica. Companyia Cultural Editora de Textos Americans SA
- BBC Món. El Codi ocult de la Natura. Recuperat de: bbc.com.
- De Leon, Manuel.Números cosins: els guardians d'internet. Recuperat de: blogs.20minutos.es.
- UNAM. Teoria de Nombres I: Teorema fonamental de l'aritmètica. Recuperat de: teoriadenumeros.wikidot.com.
- Wikipedia. Teorema Fonamental de l'Aritmètica. Recuperat de: es.wikipedia.org.