- nombres combinatoris
- demostració
- exemples
- identitat gener
- identitat 2
- Una altra demostració
- Demostració per inducció
- Curiositats
- referències
El teorema de el binomi és una equació que ens diu com es desenvolupa una expressió de la forma (a + b) n per a algun nombre natural n. Un binomi no és més que la suma de dos elements, com (a + b). També ens permet saber per a un terme donat per a k b n-k quin és el coeficient que l'acompanya.
Aquest teorema és comunament atribuït a l'inventor, físic i matemàtic anglès Sir Isaac Newton; però, s'han trobat diversos registres que indiquen que en el Mig Orient ja es coneixia la seva existència, al voltant de l'any 1000.
nombres combinatoris
El teorema de el binomi ens diu matemàticament el següent:
En aquesta expressió i b són nombres reals i n és un nombre natural.
Abans de donar la demostració, vegem alguns conceptes bàsics que són necessaris.
El nombre combinatori o combinacions de n en k és expressat de la següent manera:
Aquesta forma expressa el valor de quants subconjunts amb k elements es poden triar d'un conjunt de n elements. La seva expressió algebraica ve donada per:
Vegem un exemple: suposem que tenim un grup de set pilotes, de les quals dues de són vermelles i la resta són de color blau.
Volem saber de quantes maneres podem ordenar-les en fila. Una manera podria ser col·locar les dues vermelles en la primera i segona posició, i la resta de les pilotes en les posicions que queden.
Similar a el cas anterior, podríem donar-los a les pilotes vermelles la primera i l'última posició respectivament, i ocupar les altres amb pilotes blaves.
Ara, una forma eficaç de comptar de quantes maneres podem ordenar les pilotes en fila és usant als nombres combinatoris. Podem veure a cada posició com un element de el següent conjunt:
A continuació només queda triar un subconjunt de dos elements, en el qual cada un d'aquests elements representa la posició que ocuparan les pilotes vermelles. Aquesta elecció la podem fer segons la relació donada per:
D'aquesta manera, hem de existeixen 21 maneres d'ordenar aquestes pilotes.
La idea general d'aquest exemple ens serà de gran utilitat en la demostració de l'teorema de l'binomi. Observem un cas particular: si n = 4, tenim (a + b) 4, que no és més que:
Quan desenvolupem aquest producte, ens queda la suma dels termes que s'obtenen a l'multiplicar un element de cada un dels quatre factors (a + b). Així, tindrem termes que seran de la forma:
Si volguéssim obtenir el terme de la forma a 4, només n'hi ha prou amb multiplicar de la següent manera:
Cal notar que només hi ha una forma d'obtenir aquest element; però, què passa si ara busquem el terme de la forma a 2 b 2 ? Com «a» i «b» són nombres reals i, per tant, val la llei commutativa, tenim que una forma d'obtenir aquest terme és multiplicar amb els membres com indiquen les fletxes.
Realitzar totes aquestes operacions sol ser una mica tediós, però si veiem el terme «a» com una combinació en on desitgem saber de quantes maneres podem triar dos «a» d'un conjunt de quatre factors, podem usar la idea de l'exemple anterior. Llavors, tenim el següent:
Així doncs, sabem que en el desenvolupament final de l'expressió (a + b) abril tindrem exactament 6a 2 b 2. Usant la mateixa idea per als altres elements, s'ha de:
Després sumem les expressions obtingudes anteriorment i ens queda que:
Es tracta d'una demostració formal per al cas general en què «n» sigui qualsevol nombre natural.
demostració
Notem que els termes que queden a l'desenvolupar (a + b) n són de la forma a k b n-k, on k = 0,1,…, n. Usant la idea de l'exemple anterior, tenim la forma de triar «k» variables «a» dels «n» factors és de:
A l'escollir d'aquesta manera, automàticament estem triant nk variables «b». D'això se segueix que:
exemples
Considerant (a + b) 5, quin seria el seu desenvolupament?
Pel teorema de el binomi hem de:
El teorema de el binomi ens resulta molt útil si tenim una expressió en la qual volem saber quin és el coeficient d'un terme en específic sense haver de realitzar el desenvolupament complet. Com a exemple podem prendre la següent incògnita: ¿quin és el coeficient de x 7 i 9 en el desenvolupament de (x + i) 16 ?
Pel teorema de el binomi, tenim que el coeficient és:
Un altre exemple seria: quin és el coeficient de x 5 i 8 en el desenvolupament de (3x-7 i) 13 ?
Primer reescrivim l'expressió d'una manera convenient; això és:
Després, usant el teorema de el binomi, tenim que el coeficient buscat és quan es té k = 5
Un altre exemple dels usos d'aquest teorema és en la demostració d'algunes identitats comunes, com les que esmentarem a continuació.
identitat gener
Si «n» és un nombre natural, hem de:
Per a la demostració fem servir el teorema de el binomi, on tant «a» com «b» prenen el valor de 1. Llavors ens queda:
D'aquesta manera tenim provada la primera identitat.
identitat 2
Si «n» és un nombre natural, llavors
Pel teorema de el binomi hem de:
Una altra demostració
Podem fer una demostració diferent per al teorema de binomi fent ús de mètode inductiu i la identitat de pascal, la qual ens diu que, si «n» i «k» són enters positius que compleixen amb n ≥ k, llavors:
Demostració per inducció
Primer veiem que la base inductiva es compleix. Si n = 1, tenim que:
Efectivament, veiem que es compleix. Ara, sigui n = j tal que es compleix:
Volem veure que per n = j + 1 es compleix que:
Llavors, tenim que:
Per hipòtesi sabem que:
Després, usant la propietat distributiva:
Posteriorment, desenvolupant cadascuna de les sumatòries es té:
Ara, si agrupem de manera convenient, ens queda que:
Usant la identitat de pascal, hem de:
Per acabar, cal notar que:
Per tant, veiem que el teorema de el binomi es compleix per a tot «n» pertanyent als número naturals, i amb això acaba la prova.
Curiositats
El nombre combinatori (nk) també és anomenat coeficient binomial per ser precisament el coeficient que apareix en el desenvolupament de l'binomi (a + b) n.
Isaac Newton va donar una generalització d'aquest teorema per al cas en el qual l'exponent és un nombre real; aquest teorema és conegut com el teorema de el binomi de Newton.
Ja en l'antiguitat es coneixia aquest resultat per al cas particular en què n = 2. Aquest cas és esmentat en els Elements d'Euclides.
referències
- Johnsonbaugh Richard. Matemàtiques Discretes. PHH
- Kenneth.H. Rosen.Matemáticas Discretes i les seves Aplicacions. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA D'ESPANYA.
- Seymour Lipschutz Ph.D & Marc Lipson. Matemàtica Discretes. McGRAW-HILL.
- Ralph P. Grimaldi. Matemàtiques Discretes i Combinatòria. Addison-Wesley Iberoamericana
- Verd Star Lluís.. Matematica Discreta i Combinatoria.Anthropos