TEOREMA DE VARIGNON: EXEMPLES I EXERCICIS RESOLTS - MATEMÀTIQUES - 2026

El teorema de Varignon estableix que si en un quadrilàter qualsevol són units contínuament els punts mitjans dels costats, es genera un paral. Aquest teorema va ser formulat per Pierre Varignon i publicat en 1731 en el llibre Elements de la matemàtica ".

La publicació d'el llibre es va donar anys després de la seva mort. Atès que va ser Varignon qui va presentar aquest teorema, el paral és anomenat amb el seu nom. El teorema està basat en la geometria euclidiana i presenta relacions geomètriques dels quadrilàters.

En què consisteix el teorema de Varignon?

Varignon va afirmar que una figura que és definida pels punts mitjans d'un quadrilàter sempre resultarà en un paral·lelogram, i l'àrea d'aquest serà sempre la meitat de l'àrea de l'quadrilàter si l'és pla i convex. Per exemple:

A la figura es pot observar un quadrilàter amb una àrea X, on els punts mitjans dels costats estan representats per E, F, G i H i, a l'ésser units, formen un paral. L'àrea de l'quadrilàter serà la suma de les àrees dels triangles que es formen, i la meitat d'aquesta correspon a l'àrea de l'paral.

Com l'àrea de l'paral és la meitat de l'àrea de l'quadrilàter, es pot determinar el perímetre d'aquest paral.

Així, el perímetre és igual a la sumatòria de les longituds de les diagonals de l'quadrilàter; això és perquè les mitjanes de l'quadrilàter seran les diagonals de l'paral.

D'altra banda, si les longituds de les diagonals de l'quadrilàter són exactament iguals, el paral serà un rombe. Per exemple:

De la figura es pot observar que, a l'unir els punts mitjans dels costats de l'quadrilàter, s'obté un rombe. En canvi, si les diagonals de l'quadrilàter són perpendiculars, el paral serà un rectangle.

També el paral serà un quadrat quan el quadrilàter tingui les diagonals amb la mateixa longitud i més siguin perpendiculars.

El teorema no només es compleix en quadrilàters plans, també s'implementa en la geometria espacial o en grans dimensions; és a dir, en aquells quadrilàters que no són convexos. Un exemple d'això pot ser un octaedre, on els punts mitjans són els centroides de cada cara i formen un paral.

D'aquesta manera, a l'unir els punts mitjans de diferents figures es poden obtenir paral·lelograms. Una manera senzilla de verificar si això és realment cert és que els costats oposats han de ser paral·lels quan es prolonguen.

exemples

primer exemple

Prolongació dels costats oposats per demostrar que es tracta d'un paral·lelogram:

segon exemple

A l'unir els punts mitjans d'un rombe s'obté un rectangle:

El teorema és utilitzat en la unió de punts ubicats al mig dels costats d'un quadrilàter, i també pot ser usat per a un altre tipus de punts, com per exemple en una trisecció, penta-secció, o fins i tot un nombre infinit de seccions (n-èsima), per així dividir els costats de qualsevol quadrilàter en segments que són proporcionals.

exercicis resolts

exercici 1

Es té en la figura un quadrilàter ABCD d'àrea Z, on els punts mitjans dels costats d'aquest són PQSR. Comprovar que es forma un paral·lelogram de Varignon.

solució

Es pot comprovar que a l'unir els punts PQSR es forma un paral·lelogram de Varignon, precisament perquè en l'enunciat són donats els punts mitjans d'un quadrilàter.

Per demostrar-primer s'uneixen els punts mitjans PQSR, així es pot observar que es formar un altre quadrilàter. Per demostrar que es tracta d'un paral·lelogram només s'ha de traçar una línia recta des del punt C a el punt A, així es pot observar que CA és paral·lela a PQ i RS.

De la mateixa manera, a l'prolongar els costats PQRS pot notar-se que PQ i RS són paral·lels, com es mostra en la següent imatge:

exercici 2

Es té un rectangle tal que les longituds de tots els seus costats són iguals. A l'unir els punts mitjans d'aquests costats és format un rombe ABCD, que es troba dividit per dues diagonals AC = 7 cm i BD = 10cm, les quals coincideixen amb les mesures dels costats de l'rectangle. Determineu les àrea de l'rombe i el rectangle.

solució

Recordant que l'àrea de l'paral resultant és la meitat de l'quadrilàter, es pot determinar l'àrea d'aquests sabent que la mesura de les diagonals coincideix amb els costats de l'rectangle. Així s'ha de:

AB = D

CD = d

A _rectangle = (AB _* CD) = (10 cm _* 7 cm) = 70 cm ²

A _rombe = A _rectangle / 2

A _rombe = 70 cm ² /2 = 35 cm ²

exercici 3

Es té en la figura un quadrilàter que té la unió dels punts EFGH, les longituds dels segments són donades. Determineu si la unió de EFGH és un paral.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

FC = 3,94 HA = 2,77

solució

Com que són ateses les longituds dels segments, es pot verificar si hi ha proporcionalitat entre els segments; és a dir, es pot saber si aquestes són paral·leles, relacionant els segments de l'quadrilàter de la següent manera:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Llavors es comprova la proporcionalitat, ja que:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

De la mateixa manera, a l'traçar una recta des del punt B fins al punt D, es pot observar que EH és paral·lel a BD, així com BD és paral·lel a FG. D'altra banda, EF es troba paral·lel a GH.

D'aquesta manera es pot determinar que EFGH és un paral, a causa que els costats oposats són paral·lels.

referències

1. Andres, T. (2010). Matemàtiques Olympiad Tresure. Springer. New York.
2. Barbosa, JL (2006). Geometria Euclidiana Plana. SBM. Rio de Janeiro.
3. Howar, I. (1969). Estudi de les geometries. Mèxic: Hispano - Americana.
4. Ram, GP (1998). Solucions desconegudes als problemes de Fermat-Torricelli. ISBN - Obra independent.
5. Vera, F. (1943). Elements de la Geometria. Bogotà.
6. Villiers, M. (1996). Some Adventures in Euclidean Geometry. South Africa.