TEOREMA DE TALES DE MILET: PRIMER, SEGON I EXEMPLES - MATEMÀTIQUES - 2026

El primer i el segon teorema de Tales de Milet es basen en determinar triangles a partir d'altres semblants (primer teorema) o de circumferències (segon teorema). Han estat de molta utilitat en diversos àmbits. Per exemple, el primer teorema va resultar molt útil per mesurar grans estructures quan no hi havia sofisticats instruments de mesurament.

Tales de Milet va ser un matemàtic grec que va proporcionar grans aportacions a la geometria, dels quals ressalten aquests dos teoremes (en alguns textos l'escriuen també com Thales) i les seves útils aplicacions. Aquests resultats han estat utilitzats al llarg de la història i han permès resoldre una àmplia varietat de problemes geomètrics.

Tales de Milet

Primer teorema de Tales

El primer teorema de Tales constitueix una eina molt útil que, entre altres coses, permet construir un triangle semblant a un altre, prèviament conegut. D'aquí es deriven diverses versions de l'teorema que poden ser aplicades en múltiples contextos.

Abans de donar el seu enunciat, recordem algunes nocions de semblança de triangles. Essencialment, dos triangles són semblants si els seus angles són congruents (tenen la mateixa mida). Això dóna lloc a el fet que, si dos triangles són semblants, els seus costats corresponents (o homòlegs) són proporcionals.

El primer teorema de Tales enuncia que si en un triangle donat es traça una recta paral·lela a qualsevol dels seus costats, el nou triangle que s'obté passarà com amb el triangle inicial.

També s'obté una relació entre els angles que es formen, com s'observa en la següent figura.

aplicació

Entre les seves múltiples aplicacions ressalta una de particular interès i té a veure amb una de les maneres en què es feien mesuraments de grans estructures en l'Antiguitat, temps en què va viure Tales i en el qual no es comptava amb els moderns aparells de mesurament que existeixen ara.

Es diu que va ser així com Tals va aconseguir mesurar la més alta piràmide d'Egipte, Keops. Per a això, Tals va suposar que els reflexos dels raigs solars tocaven terra formant línies paral·leles. Sota aquesta suposició, va clavar a terra una vara o bastó de forma vertical.

Després va usar la semblança dels dos triangles resultants, un format per la longitud de l'ombra de la piràmide (que es pot calcular amb facilitat) i l'altura de la piràmide (la desconeguda), i l'altre format per les longituds de l'ombra i l'altura de la vara (que també es poden calcular fàcilment).

Usant la proporcionalitat entre aquestes longituds, es pot aclarir i conèixer l'altura de la piràmide.

Encara que aquest mètode de mesurament pot llançar un error d'aproximació significatiu pel que fa a l'exactitud de l'altura i depèn de el paral·lelisme dels raigs solars (la qual cosa depèn al seu torn d'un temps precís), cal reconèixer que és una idea molt enginyosa i que va proporcionar una bona alternativa de mesurament per a l'època.

exemples

Halle el valor de x en cada cas:

Segon teorema de Tales

El segon teorema de Tales determina un triangle rectangle inscrit a una circumferència en cada punt de la mateixa.

Un triangle inscrit a una circumferència és un triangle els vèrtexs estan sobre la circumferència, quedant així contingut en aquesta.

Específicament, el segon teorema de Tales estableix el següent: donada una circumferència de centre O i diàmetre AC, cada punt B de la circumferència (diferent de A i C) determina un triangle rectangle ABC, amb angle recte

A manera de justificació, observem que tant OA com OB i OC corresponen a el radi de la circumferència; per tant, les seves mesures són iguals. D'allí s'obté que els triangles OAB i OCB són isòsceles, on

Se sap que la suma dels angles d'un triangle és igual a 180º. Usant això amb el triangle ABC s'ha de:

2b + 2a = 180º.

De manera equivalent, s'ha de b + a = 90º b + a =

Observem que el triangle rectangle que proporciona el segon teorema de Tales és precisament aquell la hipotenusa és igual a el diàmetre de la circumferència. Per tant, queda completament determinat per la semicircumferència que contingui als punts d'el triangle; en aquest cas, la semicircumferència superior.

Observem també que en el triangle rectangle obtingut per mitjà de l'segon teorema de Tales, la hipotenusa queda divideixi en dues parts iguals per OA i OC (el radi). Al seu torn, aquesta mesura és igual a el segment OB (també el radi), el qual correspon a la mitjana de l'triangle ABC per B.

En altres paraules, la longitud de la mitjana de l'triangle rectangle ABC corresponent a l'vèrtex B queda completament determinada per la meitat de la hipotenusa. Recordem que la mitjana d'un triangle és el segment des d'un dels vèrtexs fins al punt mig de la banda oposada; en aquest cas, el segment BO.

Cincunferencia circumscrita

Una altra manera de veure el segon teorema de Tales és a través d'una circumferència circumscrita a un triangle rectangle.

En general, una circumferència circumscrita a un polígon consisteix en la circumferència que passa per cadascun dels seus vèrtexs, sempre que sigui possible traçar.

Usant el segon teorema de Tales, donat un triangle rectangle, sempre podem construir una circumferència circumscrita a aquest, de radi igual a la meitat de la hipotenusa i circumcentre (el centre de la circumferència) igual a el punt mig de la hipotenusa.

aplicació

Una aplicació molt important de l'segon teorema de Tales, i potser la més utilitzada, consisteix a trobar les rectes tangents a una circumferència donada, per un punt P extern a aquesta (conegut).

Observem que donada una circumferència (dibuixada en blau a la figura de sota) i un punt exterior P, hi ha dos rectes tangents a la circumferència que passen per P. Siguin T i T 'els punts de tangència, r el radi de la circumferència i O el centre.

És conegut que el segment que va des del centre d'una circumferència a un punt de tangència de la mateixa, és perpendicular a aquesta recta tangent. Després, l'angle OTP és recte.

Pel que vam veure anteriorment en el primer teorema de Tales i les seves diferents versions, veiem que és possible inscriure el triangle OTP en una altra circumferència (en color vermell).

Anàlogament s'obté que el triangle OT'P es pot inscriure dins de la mateixa circumferència anterior.

Pel segon teorema de Tales obtenim a més que el diàmetre d'aquesta nova circumferència és precisament la hipotenusa d'el triangle OTP (que és igual a la hipotenusa d'el triangle OT'P), i el centre és el punt mitjà d'aquesta hipotenusa.

Per calcular el centre de la nova circumferència n'hi ha prou llavors calcular el punt mig entre el centre -diguem M- de la circumferència inicial (que ja coneixem) i el punt P (que també coneixem). Després, el radi serà la distància entre aquest punt M i P.

Amb el radi i el centre de la circumferència vermella podem trobar la seva equació cartesiana, la qual recordem que ve donada per (xh) ² + (k) ² = c ², on c és el radi i el punt (h, k) és el centre de la circumferència.

Coneixent ara les equacions de les dues circumferències, podem intersectarlas resolent el sistema d'equacions format per aquestes, i obtenint així els punts de tangència T i T '. Finalment, per conèixer les rectes tangents desitjades, només cal trobar l'equació de les rectes que passen per T i P, i per T 'i P.

exemple

Penseu una circumferència de diàmetre AC, centre O i radi 1 cm. Sigui B un punt sobre la circumferència tal que AB = AC. Quant mesura AB?

solució

Pel segon teorema de Tales tenim que el triangle ABC és rectangle i la hipotenusa correspon amb el diàmetre, que en aquest cas mesura 2 cm (el radi és 1 cm). Després, pel teorema de Pitàgores tenim que:

referències

1. Ana Lira, PJ (2006). Geometria i Trigonometria. Zapopan, Jalisco: Edicions Llindar.
2. Goodman, A., & Hirsch, L. (1996). Àlgebra i trigonometria amb geometria analítica. Pearson Educació.
3. Gutiérrez, Á. À. (2004). Metodologia i aplicacions de les matemàtiques a l'ESO Ministeri d'Educació.
4. IGER. (2014). Matemàtica Segon Semestre Zaculeu. Guatemala: IGER.
5. José Jiménez, LJ (2006). Matemàtiques 2. Zapopan, Jalisco: Edicions Llindar.
6. M., S. (1997). Trigonometria i Geometria Analítica. Pearson Educació.
7. Pérez, MA (2009). Una Història de les Matemàtiques: Reptes I Conquestes a Través de Ses Personatges. Editorial Visió Llibres.
8. Viloria, N., & Leal, J. (2005). Geometria Analítica Plana. Editorial Veneçolana CA