TEOREMA DE MOIVRE: DEMOSTRACIÓ I EXERCICIS RESOLTS - MATEMÀTIQUES - 2026

El teorema de Moivre aplica processos fonamentals d'àlgebra, com les potències i l'extracció d'arrels en nombres complexos. El teorema va ser enunciat pel reconegut matemàtic francès Abraham de Moivre (1730), qui va associar els nombres complexos amb la trigonometria.

Abraham Moivre va realitzar aquesta associació per mitjà de les expressions de el si i cosinus. Aquest matemàtic va generar una mena de fórmula mitjançant la qual és possible elevar un nombre complex za la potència n, que es tracta d'un nombre enter positiu més gran o igual gener.

En què consisteix el teorema de Moivre?

El teorema de Moivre estableix el següent:

Si es té un nombre complex en la forma polar z = r _ɵ, on r és el mòdul de el nombre complex z, i l'angle ɵ és anomenat amplitud o argument de qualsevol nombre complex amb 0 ≤ ɵ ≤ 2π, per calcular la seva n- èsima potència no serà necessari multiplicar-ho per si mateix n-vegades; és a dir, no cal fer el següent producte:

Z ⁿ = z _* z _* z _{*… *} Z = r _{ɵ *} r _{ɵ *} r _{ɵ *… *} R _ɵ n-vegades.

Pel contrari, el teorema diu que, a l'escriure z en la seva forma trigonomètrica, per calcular la n-èsima potència es procedeix de la següent manera:

Si z = r (cos ɵ + I _* sin ɵ) llavors z ⁿ = r ⁿ (cos n * ɵ + I _* sin n * ɵ).

Per exemple, si n = 2, llavors z ² = r ². Si s'ha de n = 3, llavors z ³ = z ² _* z. A més:

z ³ = r ² _* r = r ³.

D'aquesta manera es poden obtenir les raons trigonomètriques d'el si i cosinus per múltiples d'un angle, sempre que les raons trigonomètriques d'l'angle siguin conegudes.

De la mateixa manera pot ser utilitzada per trobar expressions més precises i menys confuses per a la n-èsima arrel d'un nombre complex z, de manera que z ⁿ = 1.

Per demostrar el teorema de Moivre es fa servir el principi d'inducció matemàtica: si un nombre enter «a» té una propietat «P», i si per a qualsevol nombre enter «n» més gran que «a» que tingui la propietat «P» es compleix que n + 1 també té la propietat «P», llavors tots els números sencers més grans o iguals que "a" tenen la propietat «P».

demostració

D'aquesta manera, la demostració de l'teorema es fa amb els següents passos:

base inductiva

Primer es comprova per n = 1.

Com z ¹ = (r (cos ɵ + I _* sin ɵ)) ¹ = r ¹ (cos ɵ + I _* sin ɵ) ¹ = r ¹, s'ha de per n = 1 es compleix el teorema.

hipòtesi inductiva

Se suposa que la fórmula és certa per a algun enter positiu, és a dir, n = k.

z ^k = (r (cos ɵ + I _* sin ɵ)) ^k = r ^k (cos k ɵ + I _* sin k ɵ).

comprovació

Es prova que és certa per an = k + 1.

Com z ^{k + 1} = z ^k _* z, llavors z ^{k + 1} = (r (cos ɵ + I _* sin ɵ)) ^{k + 1} = r ^k (cos kƟ + I _* sin kƟ) _* r (cos ɵ + i _* senƟ).

Després es multipliquen les expressions:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* senƟ) + (i _* sin kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sin kƟ) _* (i _* senƟ)).

Per un moment s'ignora el factor r ^{k + 1}, i es treu factor comú i:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + I (cos kƟ) _* (senƟ) + I (sin kƟ) _* (cosƟ) + I ² (sin kƟ) _* (senƟ).

Com i ² = -1, el substituïm en l'expressió i s'obté:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + I (cos kƟ) _* (senƟ) + I (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (senƟ).

Ara s'ordena la part real i la imaginària:

(cos kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (senƟ) + i.

Per simplificar l'expressió s'apliquen les identitats trigonomètriques d'suma d'angles per al cosinus i si, que són:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sin A _* sin B.

sin (A + B) = sin A _* cos B - tics A _* cos B.

En aquest cas, les variables són els angles ɵ i kƟ. Aplicant les identitats trigonomètriques, es té:

cs kƟ _* cosƟ - sin kƟ _* senƟ = cos (kƟ + ɵ)

sin kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* senƟ = sin (kƟ + ɵ)

D'aquesta forma, l'expressió queda:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos (kƟ + ɵ) + I _* sin (kƟ + ɵ))

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos + i _* sin).

Així va poder demostrar-se que el resultat és veritable per n = k + 1. Pel principi d'inducció matemàtica, es conclou que el resultat és veritable per a tots els enters positius; és a dir, n ≥ 1.

enter negatiu

El teorema de Moivre també és aplicat quan n ≤ 0. Considerem un enter negatiu «n»; llavors «n» pot escriure com «-m», és a dir n = -m, en què «m» un enter positiu. Per tant:

(cos ɵ + I _* sin ɵ) ⁿ = (cos ɵ + I _* sin ɵ) ^-m

Per obtenir l'exponent «m» de manera positiva, l'expressió s'és s'escriu de forma inversa:

(cos ɵ + I _* sin ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos ɵ + I _* sin ɵ) ^m

(cos ɵ + I _* sin ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + I _* sin mƟ)

Ara, s'utilitza que si z = a + b * i és un nombre complex, seguit de 1 ÷ z = a b * i. Per tant:

(cos ɵ + I _* sin ɵ) ⁿ = cos (mƟ) - i _* sin (mƟ).

Utilziando que cos (x) = cos (-x) i que -sen (x) = sin (-x), s'ha de:

(cos ɵ + I _* sin ɵ) ⁿ =

(cos ɵ + I _* sin ɵ) ⁿ = cos (- mƟ) + I _* sin (-mƟ)

(cos ɵ + I _* sin ɵ) ⁿ = cos (nƟ) - i _* sin (nƟ).

D'aquesta forma, es pot dir que el teorema s'aplica per a tots els valors sencers de «n».

exercicis resolts

Càlcul de potències positives

Una de les operacions amb nombres complexos en la seva forma polar és la multiplicació entre dos d'aquests; en aquest cas es multipliquen els mòduls i se sumen els arguments.

Si es tenen dues nombre complexos z ₁ z ₂ i es vol calcular (z ₁ * z ₂) ², llavors es procedeix de la següent manera:

z ₁ z ₂ = *

S'aplica la propietat distributiva:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos ɵ _{1 *} cos ɵ ₂ + I _* cos ɵ _{1 *} i _* sin ɵ ₂ + I _* sin ɵ _{1 *} cos ɵ ₂ + I ² _* sin ɵ _{1 *} sin ɵ ₂).

S'agrupen, traient el terme «i» com a factor comú de les expressions:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Com i ² = -1, se substitueix en l'expressió:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Es reagrupen els termes reals amb reals, i imaginaris amb imaginaris:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Per finalitzar, s'apliquen les propietats trigonomètriques:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂.

En conclusió:

(z ₁ * z ₂) ² = (r ₁ r ₂) ²

= R ₁ ² r ₂ ².

exercici 1

Escriure el nombre complex en forma polar si z = - 2 -2i. Després, utilzando el teorema de Moivre, calcular z ⁴.

solució

El nombre complex z = -2 -2i està expressat en la forma rectangular z = a + bi, on:

a = -2.

b = -2.

Sabent que la forma polar és z = r (cos ɵ + I _* sin ɵ), es necessita determinar el valor de la lliçó «r» i el valor de l'argument «ɵ». Com r = √ (a² + b²), es substitueixen els valors donats:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Després, per determinar el valor de «ɵ», s'aplica la forma rectangular d'aquest, que és donada per la fórmula:

tan ɵ = b ÷ a

tan ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Com la tan (ɵ) = 1 i s'ha de a <0, llavors s'ha de:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Com ja es va aconseguir el valor «r» i «ɵ», el nombre complex z = -2 -2i pot ser expressat en la forma polar substituint els valors:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + I _* sin (5Π / 4)).

Ara es fa servir el teorema de Moivre per calcular z ⁴:

z ⁴ = 2√2 (cos (5Π / 4) + I _* sin (5Π / 4)) ⁴

= 32 (cos (5Π) + I _* sin (5Π)).

exercici 2

Trobar el producte dels nombres complexos expressant en la seva forma polar:

z1 = 4 (cos 50 ^o + I _* sin 50 ^o)

z2 = 7 (cos 100 ^o + I _* sin 100 ^o).

Després, calcular (z1 * z2) ².

solució

Primer es forma el producte dels nombres donats:

z ₁ z ₂ = *

Després es multipliquen els mòduls entre si, i se sumen els arguments:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _*

Es simplifica l'expressió:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o).

Finalment, s'aplica el teorema de Moivre:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o)) ² = 784 (cos 300 ^o + (i _* sin 300 ^o)).

Càlcul de potències negatives

Per dividir dos nombres complexos z ₁ z ₂ en la seva forma polar, el mòdul és dividit i es resten els arguments. Així, el quocient és z ₁ ÷ z ₂ i s'expressa de la següent manera:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ().

Com en el cas anterior, si es vol calcular (z1 ÷ z2) ³ primer s'efectua la divisió i després s'utilitza el teorema de Moivre.

exercici 3

donats:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + I * sin (3π / 4)), z2 = 4 (cos (π / 4) + I * sin (π / 4)), calcular (z1 ÷ z2) ³.

solució

Seguint els passos anteriors es pot concloure que:

(Z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + I * sin (3π / 4 - π / 4))) ²

= (3 (cos (π / 2) + I * sin (π / 2))) ²

= 27 (cos (3π / 2) + I * sin (3π / 2)).

referències

1. Arthur Goodman, LH (1996). Àlgebra i trigonometria amb geometria analítica. Pearson Educació.
2. Croucher, M. (sf). De Moivre 's Theorem for Trig Identities. Wolfram Demonstrations Project.
3. Hazewinkel, M. (2001). Encyclopaedia of Mathematics.
4. Max Peters, WL (1972). Àlgebra i Trigonometria.
5. Pérez, CD (2010). Pearson Educació.
6. Stanley, G. (sf). Àlgebra Lineal. Graw-Hill.
7. , M. (1997). Precàlcul. Pearson Educació.