El teorema de Lamy estableix que quan un cos rígid està en equilibri i sobre l'acció de tres forces coplanars (forces que estan en un mateix pla), les seves línies d'acció concorren en un mateix punt.
El teorema va ser deduït pel físic i religiós francès Bernard Lamy i es va originar de la llei dels pits. És molt usat per trobar el valor d'un angle, de la recta d'acció d'una força o per formar el triangle de forces.
El Teorema de Lamy
El teorema estableix que perquè pugui complir-se la condició de l'equilibri les forces han de ser coplanars; és a dir, la suma de les forces exercides sobre un punt és nul·la.
A més, com s'observa en la següent imatge, es compleix que a l'perllongar les línies d'acció d'aquestes tres forces, aquestes concorren en un mateix punt.
D'aquesta manera si tres forces que estan en un mateix pla i són concurrents, la magnitud de cada força serà proporcional a el si de l'angle oposat, que es formen per les altres dues forces.
Així s'ha de T1, partint de el si de α, és igual a la raó de T2 / β, que al seu torn és igual a la raó de T3 / ɵ, és a dir:
D'aquí es dedueix que els mòduls d'aquestes tres forces han de ser iguals si els angles que formen entre si cada parell de forces són iguals a 120 º.
Hi ha la possibilitat que un dels angles sigui obtús (mesuri entre 90 0 i 180 0). En aquest cas el si d'aquest angle és igual a el si de l'angle suplementari (en el seu parell mesura 180 0).
exercici resolt
Es té un sistema format per dos blocs J i K, que pengen de diverses cordes formant angles respecte a l'horitzontal, com es mostra a la figura. El sistema es troba en equilibri i el bloc J pesa 240 N. Determinar el pes de l'bloc K.
solució
Pel principi d'acció i reacció s'ha de les tensions exercides en els blocs 1 i 2 seran igual a el pes d'aquests.
Ara es construeix un diagrama de cos lliure per a cada bloc i així determinar els angles que formen el sistema.
Se sap que la corda que va de A fins a B, té un angle de 30 0, de manera que l'angle que el complementa és igual a 60 0. D'aquesta manera s'arriba a 90 0.
D'altra banda, on s'ubica el punt A, es té un angle de 60 0 pel que fa a l'horitzontal; l'angle entre la vertical i T A serà = 180 0 - 60 0 - 90 0 = 30 0.
Així s'obté que l'angle entre AB i BC = (30 0 + 90 0 + 30 0) i (60 0 + 90 0 + 60) = 150 0 i 210 0. A l'sumar-se es comprova que l'angle total és 360 0.
Aplicant el teorema de Lamy s'ha de:
T BC / sin 150 0 = P A / sin 150 0
T BC = P A
T BC = 240N.
En el punt C, on hi ha el bloc, s'ha de l'angle entre l'horitzontal i la corda BC és de 30 0, així que l'angle complementari és igual a 60 0.
D'altra banda, es té un angle de 60 0 en el punt CD; l'angle entre la vertical i T C serà = 180 0 - 90 0 - 60 0 = 30 0.
Així s'obté que l'angle en el bloc K és = (30 0 + 60 0)
Aplicant el teorema de Lamy en el punt C:
T BC / sin 150 0 = B / sin 90 0
Q = T BC * sin 90 0 / sin 150 0
Q = 240 N * 1 / 0,5
Q = 480 N.
referències
- Andersen, K. (2008). The Geometry of an Art: The History of the Mathematical Theory of Perspective from Alberti to Monge. Springer Science & Business Mitjana.
- Ferdinand P. Beer, ER (2013). Mecànica per a enginyers, Estàtica. McGraw-Hill Interamericana.
- Francisco Espanyol, JC (2015). Problemes resolts d'àlgebra lineal. Edicions Paranimf, SA
- Graham, J. (2005). Força i Moviment. Houghton Mifflin Harcourt.
- Harpe, P. d. (2000). Topics in Geometric Group Theory. University of Chicago Press.
- P. A Tipler i, GM (2005). Física per a la Ciència i la Tecnologia. Volum I. Barcelona: Reverté SA