El teorema de Green és un mètode de càlcul utilitzat per relacionar integrals de línia amb integrals dobles d'àrea o superfície. Les funcions implicades han d'estar denotades com a camps vectorials i definides dins de la trajectòria C.
Per exemple una expressió d'integral de línia pot ser molt complicada de resoldre; però a l'implementar el teorema de Green, les integrals dobles es tornen bastant bàsiques. És sempre important respectar el sentit positiu de la trajectòria, això es refereix a el sentit contrari a les agulles de el rellotge.
El teorema de Green és un cas particular de l'teorema de Stokes, on la projecció de la funció vectorial es realitza en el pla xy.
definició
L'expressió de l'Teorema de Green és la següent:
Al primer terme s'observa la integral de línia definida per la trajectòria "C", del producte escalar entre la funció vectorial "F" i el de el vector "r".
C: És la trajectòria definida sobre la qual es projectarà la funció vectorial sempre que estigui definida per a aquest pla.
F: Funció vectorial, on cadascuna de les seves components està definida per una funció com a tal (f, g).
r: És un vector tangent a la regió R sobre la qual es defineix la integral. En aquest cas s'opera amb un diferencial d'aquest vector.
En el segon terme veiem el teorema de Green desenvolupat, on s'observa la integral doble definida a la regió R de la diferència de les derivades parcials de gif, pel que fa axey respectivament. Per un diferencial d'àrea que no és més que el producte d'ambdós diferencials bidimensionals (dx.dy).
Aquest teorema és perfectament aplicable per a l'espai i integrals de superfície.
demostració
Per demostrar el teorema de Green d'una manera senzilla, aquesta tasca es desglossarà en 2 parts. Primerament assumirem que la funció vectorial F només posseeix definició en el versor i. Mentre la funció "g" corresponent a l'inversor j serà igual a zero.
autor
F = f (x, y) i + g (x, y) j = f (x, y) i + 0
r = x i + i j
dr = dx i + di j
Primer vam desenvolupar la integral de línia per sobre la trajectòria C, per la qual cosa s'ha sectoritzat la trajectòria en 2 trams que van primerament des de a fins by després de b fins a.
S'aplica la definició de l'teorema fonamental de el càlcul per a una integral definida.
Es reordena l'expressió en una sola integral, es fa factor comú a l'negatiu i s'inverteix l'ordre dels factors.
A l'observar amb detall aquesta expressió, es fa evident que a l'aplicar els criteris de funció primitiva, s'està en presència de la integral de l'expressió derivada de f respecte a i. Avaluada en els paràmetres
Ara n'hi ha prou suposar que la funció vectorial F està definida únicament per g (x, y) j. On a l'operar de manera homologa a el cas anterior, s'obté:
Per finalitzar, es prenen a les 2 demostracions i s'uneixen en el cas on la funció vectorial pren valors per a tots dos inversors. D'aquesta manera es mostra com la integral de línia després definir-se i considerar-se com una trajectòria unidimensional, es pot desenvolupar completament per al pla i espai.
F = f (x, y) i + g (x, y) j
D'aquesta manera queda demostrat el teorema de Green.
aplicacions
Les aplicacions de l'teorema de Green són àmplies en les branques de física i matemàtica. Aquestes s'estenen a qualsevol aplicació o ús que se li pugui donar a la integració de línia.
El treball mecànic realitzat per una força F a través d'una trajectòria C, pot ser desenvolupat per una integral de línia que s'expressa com a integral doble d'una àrea mitjançant el teorema de Green.
Els moments d'inèrcia de molts cossos sotmesos a forces externes en diferents punts d'aplicació, també responen a integrals de línia desenvolupables amb el teorema de Green.
Això té múltiples funcionalitats en els estudis de resistència de materials baix ús. On els valors externs poden ser quantificats i presos en compte previ a l'elaboració de diversos elements.
En general, el teorema de Green facilita la comprensió i definició de les zones on les funcions vectorials estan definides pel que fa a una regió segons una trajectòria.
història
Va ser publicat en 1828 en l'obra de Matemàtiques analysis to the theories of electricity and Magnetism, escrit pel matemàtic britànic George Green. S'hi exploren apartats bastant determinants en l'aplicació de el càlcul en la física, com el concepte funcions de potencial, les funcions de Green i les aplicacions del seu teorema acte titulat.
George Green va formalitzar la seva carrera estudiantil als 40 anys, sent fins al moment un matemàtic completament autodidacta. Després d'estudiar a la universitat de Cambridge continu seves investigacions, realitzant aportacions en matèria d'acústica, òptica i hidrodinàmica que segueixen vigents en l'actualitat.
Relació amb altres teoremes
El teorema de Green és un cas especial, i sorgeix d'altres 2 teoremes molt importants en la branca de el càlcul. Aquests són el teorema de Kelvin-Stokes i el teorema de divergència o de Gauss Ostrogradski.
Partint de qualsevol d'ambdós teoremes es pot arribar a el teorema de Green. Certes definicions i proposicions són necessàries per desenvolupar aquestes demostracions.
exercicis
- En el següent exercici es mostra com transformar una integral de línia en una integral doble respecte a una regió R.
L'expressió original és la següent:
D'on es prenen les funcions corresponent afyg
f (x, y) = x 3 g (x, y) = x
df / di = 0 DG / dx = i
No hi ha una manera única de definir els límits d'integració a l'aplicar el teorema de Green. Però sí que hi ha formes on les integrals després de ser definides poden resultar més simples. De tal manera que l'optimització dels límits d'integració mereix atenció.
On a l'resoldre les integrals obtenim:
Aquest valor correspon a unitats cúbiques a la regió sota de la funció vectorial i sobre la regió triangular definida per C.
Per al cas de la integral de línia sense efectuar el mètode de Green, hagués estat necessari parametritzar les funcions en cada tram de la regió. És a dir, realitzar 3 integrals parametritzades per a la resolució. Això és evidència suficient de l'eficàcia que Robert Green va aportar amb el seu teorema a el càlcul.
referències
- Introduction to Continuum Mechanics. W Michael Lai, David H. Rubin, Erhard Krempl, David Rubin Butterworth-Heinemann, 23 jul. 2009
- Multivariable Calculus. James Stewart. Cengage Learning, 22 mar. 2011
- An Informal History of Green 's Theorem and Associated Idees. James Joseph Cross. Department of Mathematics, University of Melbourne, 1975
- Heat conduction Using Greens Functions. Kevin D. Cole, James V. Beck, A. Haji-Sheikh, Bahman Litkouhi. Taylor & Francis, 16 jul. 2010
- Application of Green 's Theorem to the Extremization of Linear Integrals. Defense Technical Information Center, 1961