TEOREMA D'EXISTÈNCIA I UNICITAT: DEMOSTRACIÓ, EXEMPLES I EXERCICIS - MATEMÀTIQUES - 2026

El teorema d'existència i unicitat estableix les condicions necessàries i suficients perquè una equació diferencial de primer ordre, amb condició inicial donada, tingui una solució i que a més aquesta solució sigui l'única.

No obstant això el teorema no dóna cap tècnica ni indicació de com trobar aquesta solució. El teorema d'existència i unicitat s'estén també a equacions diferencials d'ordre superior amb condicions inicials, el que es coneix com a problema de Cauchy.

Figura 1. Es mostra una equació diferencial amb condició inicial i la seva solució. El Teorema de Existència i Unicitat garanteix que és l'única solució possible.

L'enunciat formal de l'teorema d'existència i unicitat és el següent:

"Per a una equació diferencial i '(x) = f (x, y) amb condició inicial i (a) = b, hi ha al menys una solució en una regió rectangular de el pla XY que conté a punt (a, b), si f (x, y) és contínua en aquesta regió. I si la derivada parcial de f respecte de i: g = ∂f / ∂y és contínua en aquesta mateixa regió rectangular, llavors la solució és única en un entorn de el de el punt (a, b) contingut en la regió de continuïtat de fi g. "

La utilitat d'aquest teorema radica primer a conèixer quines són les regions de el pla XY en què pot existir una solució ia més, saber si la solució trobada és l'única possible o si hi ha altres.

Cal notar que en el cas que no es compleixi la condició d'unicitat, el teorema no pot predir quantes solucions en total té el problema de Cauchy: potser sigui una, dues, o més.

Demostració de l'teorema d'existència i unicitat

Figura 2. A Charles Émile Picard (1856-1941) s'acredita una de les primeres demostracions de el teorema de Existència i Unicitat. Font: Wikimedia Commons.

Per aquest teorema es coneixen dues demostracions possibles, una d'elles és la demostració de Charles Émile Picard (1856-1941) i l'altra es deu a Giuseppe Peano (1858-1932) basat en els treballs d'Augustin Louis Cauchy (1789-1857).

És de notar que en la demostració d'aquest teorema van participar les ments matemàtiques més brillants de segle XIX, per la qual cosa es pot intuir que cap de les dues és senzilla.

Per demostrar formalment el teorema es requereix establir primer una sèrie de conceptes de matemàtiques més avançades, com a funcions tipus Lipschitz, espais de Banach, teorema d'existència de Carathéodory i diversos més, que escapen de l'propòsit de l'article.

Una gran part de les equacions diferencials que es manegen en física tracten amb funcions contínues en les regions d'interès, per tant ens limitarem a mostrar la forma en què s'aplica el teorema en equacions senzilles.

exemples

- Exemple 1

Considerem la següent equació diferencial amb una condició inicial:

i '(x) = - i; amb i (1) = 3

Existeix una solució per a aquest problema? És l'única solució possible?

respostes

En primer lloc s'avalua l'existència de la solució de l'equació diferencial i que a més que compleixi la condició inicial.

En aquest exemple f (x, y) = - i la condició d'existència requereix saber si f (x, y) és contínua en una regió de el pla XY que contingui a punt de coordenades x = 1, y = 3.

Però f (x, y) = - i és la funció afí, que és contínua en el domini dels nombres reals i existeix en tot el rang dels nombres reals.

Per tant es conclou que f (x, y) és contínua en R ², de manera que el teorema garanteix l'existència de al menys una solució.

Sabent això, toca avaluar si la solució és única o si per contra hi ha més d'un. Per això és necessari calcular la derivada parcial de f respecte de la variable i:

Llavors g (x, y) = -1 que és una funció constant, que també està definida per a tot R ² ia més és contínua allà. Se segueix que el teorema d'existència i unicitat garanteix que aquest problema de valor inicial si té una solució única, encara que no ens diu quin és.

- Exemple 2

Penseu en la següent equació diferencial ordinària de primer ordre amb condició inicial:

i '(x) = 2√y; i (0) = 0.

Existeix una solució i (x) per a aquest problema? En cas afirmatiu determinar si hi ha una o més d'una.

Resposta

Considerem la funció f (x, y) = 2√y. La funció f està definida únicament per y≥0, ja que sabem que un nombre negatiu no té arrel real. A més f (x, y) és contínua en el semiplà superior de R ² inclòs l'eix X, de manera que el teorema d'existència i unicitat garanteix a l'almenys una solució en aquesta regió.

Ara bé, la condició inicial x = 0, i = 0 està en la vora de la regió de solució. Llavors vam prendre la derivada parcial de f (x, i) respecte de i:

∂f / ∂y = 1 / √y

En aquest cas la funció no està definida per a i = 0, precisament on hi ha la condició inicial.

Què ens diu el teorema? Ens diu que tot i que sabem que hi ha a l'almenys una solució el semiplà superior de l'eix X inclòs l'eix X, com no es compleix la condició d'unicitat, no es garanteix que hi hagi una solució única.

Això significa que podria haver-hi una o més d'una solució a la regió de continuïtat de f (x, y). I com sempre, el teorema no ens diu quines podrien ser.

exercicis resolts

- Exercici 1

Resoldre el problema de Cauchy de l'exemple 1:

i '(x) = - i; amb i (1) = 3.

Trobar la funció y (x) que satisfà l'equació diferencial i la condició inicial.

solució

En l'exemple 1 es va determinar que aquest problema té solució ia més és única. Per trobar la solució, el primer que ha de notar és que es tracta d'una equació diferencial de primer grau de variables separables, la qual s'escriu de la següent manera:

Dividint entre i en tots dos membres per separar les variables ens queda:

S'aplica la integral indefinida en tots dos membres:

Resolent les integrals indefinides es té:

on C és una constant d'integració que es determina mitjançant la condició inicial:

Substituint el valor de C i reorganitzant queda:

Aplicant la següent propietat dels logaritmes:

L'expressió anterior pot reescriure així:

S'aplica la funció exponencial amb base i en els dos membres per obtenir:

i / 3 = i ^{(1 - x)}

Que equival a:

i = 3e i ^-x

Aquesta és la solució única de l'equació i '= -i amb i (1) = 3. El gràfic d'aquesta solució es mostra a la figura 1.

- Exercici 2

Trobar dues solucions per al problema plantejat en l'exemple 2:

i '(x) = 2√ (i); i (0) = 0.

solució

També es tracta d'una equació de variables separables, que escrita en forma diferencial queda així:

dy / √ (i) = 2 dx

Prenent la integral indefinida en tots dos membres queda:

2 √ (i) = 2 x + C

Com se sap que y≥0 a la regió de solució ens queda:

i = (x + C) ²

Però com s'ha de complir la condició inicial x = 0, i = 0, llavors la constant C és zero i queda la següent solució:

i (x) = x ².

Però aquesta solució no és única, la funció i (x) = 0 també és solució de el problema plantejat. El teorema d'existència i unicitat aplicat a aquest problema en l'exemple 2 ja havia predit que podia existir més d'una solució.

referències

1. Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955), Theory of Ordinary Differential Equations, New York: McGraw-Hill.
2. Encyclopedia of Mathematics. Cauchy-Lipschitz theorem. Recuperat de: encyclopediaofmath.org
3. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du primer ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 116, 1894, pp. 454-457. Recuperat de: gallica.bnf.fr.
4. Wikipedia. Mètode de les aproximacions successives de Picard. Recuperat de: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Teorema de Picard-Lindelöf. Recuperat de: es.wikipedia.com.
6. Zill, D.1986. Equacions diferencials elementals amb Aplicaciones.Prentice Hall.