TEOREMA DE EUCLIDES: DEMOSTRACIÓ, APLICACIÓ I EXERCICIS - MATEMÀTIQUES - 2026

El teorema d'Euclides demostra les propietats d'un triangle rectangle a l'traçar una línia que el divideix en dos nous triangles rectangles que són semblants entre si i, al seu torn, són semblants a el triangle original; llavors, hi ha una relació de proporcionalitat.

Euclides va ser un dels més grans matemàtics i geòmetres de l'edat antiga que va realitzar diverses demostracions de teoremes importants. Un dels principals és el que porta el seu nom, que ha tingut una àmplia aplicació.

Això ha estat així perquè, a través d'aquest teorema, explica de forma senzilla les relacions geomètriques que hi ha al triangle rectangle, on els catets d'aquest estan relacionats amb les seves projeccions a la hipotenusa.

Fórmules i demostració

El teorema d'Euclides proposa que en tot triangle rectangle, quan es traça una recta que representa a l'altura que correspon a el vèrtex de l'angle recte respecte a la hipotenusa- es formen dos triangles rectangles a partir de l'original.

Aquests triangles seran semblants entre si i també seran semblants amb el triangle original, el que significa que els seus costats semblants són proporcionals entre si:

Els angles dels tres triangles són congruents; és a dir, que a l'ésser rotats a 180 graus sobre el seu vèrtex, coincideix un angle sobre l'altre. Això implica que tots seran iguals.

D'aquesta manera també es pot verificar la semblança que hi ha entre els tres triangles, per la igualtat dels seus angles. Des de la semblança de triangles, Euclides estableix les proporcions d'aquests a partir de dos teoremes:

- Teorema de l'altura.

- Teorema dels catets.

Aquest teorema té una àmplia aplicació. En l'Antiguitat va ser usat per a calcular altures o distàncies, representant un gran avenç per a la trigonometria.

Actualment és aplicat en diverses àrees que es basen en la matemàtica, com enginyeria, física, química i astronomia, entre moltes altres àrees.

Teorema de l'altura

En aquest teorema s'estableix que en qualsevol triangle rectangle, l'altura traçada des de l'angle recte respecte a la hipotenusa és la mitjana proporcional geomètrica (el quadrat de l'altura) entre les projeccions dels catets que determina sobre la hipotenusa.

És a dir, el quadrat de l'altura és igual a la multiplicació dels catets projectats que formen la hipotenusa:

h _c ² = m _* n

demostració

Donat un triangle ABC, que és rectangle en el vèrtex C, a l'traçar l'altura es generen dos triangles rectangles semblants, ADC i BCD; per tant, els seus costats corresponents són proporcionals:

De tal manera que l'altura h _c que correspon a el segment CD, correspon a la hipotenusa AB = c, així s'ha de:

Al seu torn, això correspon a:

Aïllant la hipotenusa (h _c), per multiplicar els dos membres de la igualtat, s'ha de:

h _{c *} h _{c =} m _* n

h _c ² = m _* n

Així, el valor de la hipotenusa és donat per:

Teorema dels catets

En aquest teorema s'estableix que, en tot triangle rectangle, la mesura de cada catet serà la mitjana proporcional geomètrica (el quadrat de cada catet) entre la mesura de la hipotenusa (completa) i la projecció de cada un sobre aquest:

b ² = c _* m

a ² = c _* n

demostració

Donat un triangle ABC, que és rectangle en el vèrtex C, de tal manera que la seva hipotenusa és c, a l'traçar l'altura (h) es determinen les projeccions dels catets a i b, que són els segments m i n respectivament, i que es troben sobre la hipotenusa.

Així, s'ha de l'altura traçada sobre el triangle rectangle ABC genera dos triangles rectangles semblants, ADC i BCD, de manera que els costats corresponents són proporcionals, així:

DB = n, que és la projecció de l'catet CB sobre la hipotenusa.

AD = m, que és la projecció de l'catet AC sobre la hipotenusa.

Llavors, la hipotenusa c és determinada per la suma dels catets de les seves projeccions:

c = m + n

Per la semblança dels triangles ADC i BCD, s'ha de:

L'anterior és el mateix que:

Aïllant el catet "a" per multiplicar els dos membres de la igualtat, s'ha de:

a _* a = c _* n

a ² = c _* n

Així, el valor de l'catet "a" és donat per:

De la mateixa manera, per la semblança dels triangles ACB i ADC, s'ha de:

L'anterior és igual a:

Aïllant el catet "b" per multiplicar els dos membres de la igualtat, s'ha de:

b _* b = c _* m

b ² = c _* m

Així, el valor de l'catet "b" és donat per:

Relació entre els teoremes d'Euclides

Els teoremes amb referència a l'alçada i els catets es relacionen entre si perquè la mesura de tots dos es fa respecte a la hipotenusa d'el triangle rectangle.

A través de la relació dels teoremes d'Euclides el valor de l'altura també pot ser trobat; això és possible aclarint els valors de min de el teorema dels catets i es reemplacen en el teorema de l'altura. D'aquesta manera es compleix que l'altura és igual a la multiplicació dels catets, dividits entre la hipotenusa:

b ² = c _* m

m = b ² ÷ c

a ² = c _* n

n = a ² ÷ c

En el teorema de l'altura es reemplaça min:

h _c ² = m _* n

h _c ² = (b ² ÷ c) _* (a ² ÷ c)

h _c = (b ² _* a ²) ÷ c

exercicis resolts

exemple 1

Donat el triangle ABC, rectangle en A, determinar la mesura d'AC i AD, si AB = 30 cm i BD = 18 cm

solució

En aquest cas es tenen les mesures d'un dels catets projectats (BD) i d'un dels catets d'el triangle original (AB). D'aquesta manera es pot aplicar el teorema dels catets per trobar el valor de l'catet BC.

AB ² = BD _* BC

(30) ^febrer = 18 _* BC

900 = 18 _* BC

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

El valor de l'catet CD pot ser trobat sabent que BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50-18 = 32 cm

Ara sí que és possible determinar el valor de l'catet AC, aplicant novament el teorema dels catets:

AC ² = CD _* BD

AC ² = 32 _* 50

AC ² = 160

AC = √1600 = 40 cm

Per determinar el valor de l'altura (AD) s'aplica el teorema de l'altura, ja que els valors dels catets projectats CD i BD són coneguts:

AD ² = 32 _* 18

AD ² = 576

AD = √576

AD = 24 cm

exemple 2

Determinar el valor de l'altura (h) d'un triangle MNL, rectangle en N, sabent les mesures dels segments:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

solució

Es té la mesura d'un dels catets projectats sobre la hipotenusa (PM), així com també les mesures dels catets d'el triangle original. D'aquesta manera es pot aplicar el teorema dels catets per trobar el valor de l'altre catet projectat (LN):

NL ² = PM _* LM

(10) ^febrer = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Com ja es coneix el valor dels catets i la hipotenusa, a través de la relació dels teoremes de l'altura i dels catets es pot determinar el valor de l'altura:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b ² _* a ²) ÷ c.

h = (10 ² _* 5 ²) ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

referències

1. Braun, E. (2011). Caos, fractals i coses rares. Fons de Cultura Economica.
2. Cabrera, VM (1974). Matemàtiques modernes, Volume 3.
3. Daniel Hernandez, DP (2014). Matemàtica de 3er any. Caracas: Santillana.
4. Encyclopaedia Britannica, i. (1995). Enciclopèdia hispànica: Macropedia. Encyclopedia Britannica Publishers.
5. Euclid, RP (1886). Euclid 's Elements of Geometry.
6. Guardeño, AJ (2000). El llegat de les matemàtiques: d'Euclides a Newton, els genis a través dels seus llibres. Universitat de Sevilla.