TEOREMA DE CHEBYSHEV: QUE ÉS, APLICACIONS I EXEMPLES - MATEMÀTIQUES - 2025

El teorema de Chebyshev (o desigualtat de Chebyshev) és un dels resultats clàssics més importants de la teoria de la probabilitat. Permet estimar la probabilitat d'un esdeveniment descrit en termes d'una variable aleatòria X, a l'proveir-nos d'una cota que no depèn de la distribució de la variable aleatòria sinó de la variància de X

El teorema rep el nom en honor a el matemàtic rus Pafnuty Chebyshev (també escrit com Chebychev o Tchebycheff) qui, tot i no ser el primer a enunciar aquest teorema, va ser el primer a donar una demostració en l'any 1867.

Aquesta desigualtat, o aquelles que per les seves característiques són cridades desigualtat de Chebyshev, s'usa principalment per aproximar probabilitats per mitjà de càlcul de cotes.

En què consisteix?

En l'estudi de la teoria de la probabilitat passa que si es coneix la funció de distribució d'una variable aleatòria X, es pot calcular el seu valor esperat -o esperança matemàtica E (X) - i la seva variància Var (X), sempre que aquestes quantitats existeixin. No obstant això, el recíproc no és necessàriament cert.

És a dir, coneixent E (X) i Var (X) no necessàriament es pot obtenir la funció de distribució de X, per la qual cosa quantitats com P (-X-> k) per a algun k> 0, són molt difícils d'obtenir. Però gràcies a la desigualtat de Chebyshev és possible fer una estimació de la probabilitat de la variable aleatòria.

El teorema de Chebyshev ens diu que si tenim una variable aleatòria X sobre un espai mostral S amb una funció de probabilitat p, i si k> 0, llavors:

Aplicacions i exemples

Dins de les moltes aplicacions que posseeix el teorema de Chebyshev es poden esmentar les següents:

Acotament de probabilitats

Aquesta és l'aplicació més comuna i s'utilitza per donar una cota superior per a P (-XE (X) -≥k) on k> 0, només amb la variància i l'esperança de la variable aleatòria X, sense conèixer la funció de probabilitat.

exemple 1

Suposem que el nombre de productes fabricats en una empresa durant una setmana és una variable aleatòria amb mitjana de 50.

Si se sap que la variància d'una setmana de producció és igual a 25, llavors què podem dir sobre la probabilitat que en aquesta setmana la producció difereixi en més de 10 a la mitjana?

solució

Aplicant la desigualtat de Chebyshev hem de:

D'això podem obtenir que la probabilitat que en la setmana de producció el nombre d'articles excedeixi en més de 10 a la mitjana és al més 1/4.

Demostració dels teoremes límits

La desigualtat de Chebyshev juga un paper important en la demostració dels teoremes límits més importants. Com a exemple tenim els següents:

Llei feble dels grans nombres

Aquesta llei estableix que donada una successió X1, X2,…, Xn,… de variables aleatòries independents amb la mateixa distribució mitjana E (Xi) = μ i variància Var (X) = σ ², i una mostra mitjana coneguda de:

Llavors per k> 0 s'ha de:

O, de manera equivalent:

demostració

Primer notem el següent:

Com X1, X2,…, Xn són independents, es dedueix que:

Per tant, és possible afirmar el següent:

Després, usant el teorema de Chebyshev s'ha de:

Finalment, el teorema resulta d'el fet que el límit a la dreta és zero quan n tendeix a infinit.

Cal ressaltar que aquesta prova es va fer només per al cas en què hi hagi la variància de Xi; és a dir, que no divergeix. Així observem que el teorema sempre és veritable si E (Xi) existeix.

Teorema límit de Chebyshev

Si X1, X2,…, Xn,… és una successió de variables aleatòries independents tal que existeix algun C <infinit, tal que Var (X) ≤ C per a tot n natural, llavors per a qualsevol k> 0:

demostració

Com la successió de variàncies és uniformement acotada, hem de Var (Sn) ≤ C / n, per a tot n natural. Però sabem que:

Fent tendir n cap a infinit, resulta el següent:

Com una probabilitat no pot excedir el valor d'1, s'obté el resultat desitjat. Com a conseqüència d'aquest teorema podríem esmentar el cas particular de Bernoulli.

Si un experiment es repeteix n vegades de forma independent amb dos resultats possibles (fracàs i èxit), on p és la probabilitat d'èxit en cada experiment i X és la variable aleatòria que representa el nombre d'èxits obtinguts, llavors per a cada k> 0 s'ha de:

Mida de mostra

En termes de la variància, la desigualtat de Chebyshev ens permet trobar una mida de mostra n que és suficient per garantir que la probabilitat que -Sn-μ -> = k passi sigui tan petita com es vulgui, la qual cosa permet tenir una aproximació a la mitjana.

De manera precisa, sigui X1, X2,… Xn una mostra de variables aleatòries independents de mida ni suposem que E (Xi) = μ i la seva variància σ ². Llavors, per la desigualtat de Chebyshev s'ha de:

exemple

Suposem que X1, X2,… Xn són una mostra de variables aleatòries independents amb distribució de Bernoulli, de tal manera que prenen el valor 1 amb probabilitat p = 0.5.

Quin ha de ser la mida de la mostra per poder garantir que la probabilitat que la diferència entre la mitjana aritmètica Sn i el seu valor esperat (que excedeixi en més de 0,1), sigui menor o igual que 0., 01?

solució

Hem de E (X) = μ = p = 0,5 i que Var (X) = σ ² = p (1-p) = 0,25. Per la desigualtat de Chebyshev, per a qualsevol k> 0 tenim que:

Ara, prenent k = 0,1 i δ = 0,01, s'ha de:

D'aquesta manera es conclou que es necessita una mida de mostra de al menys 2500 per garantir que la probabilitat de l'esdeveniment -Sn - 0,5 -> = 0,1 sigui menor que 0,01.

Desigualtats tipus Chebyshev

Hi ha diverses desigualtats relacionades amb la desigualtat de Chebyshev. Una de les més conegudes és la desigualtat de Markov:

En aquesta expressió X és una variable aleatòria no negativa amb k, r> 0.

La desigualtat de Markov pot prendre diferents formes. Per exemple, sigui I una variable aleatòria no negativa (pel que P (I> = 0) = 1) i suposem que E (I) = μ existeix. Suposem també que (E (I)) ^r = μ _r existeix per algun enter r> 1. llavors:

Una altra desigualtat és la de Gauss, la qual ens diu que donada una variable aleatòria unimodal X amb moda a zero, llavors per k> 0,

referències

1. Kai Lai Chung. Elementary Proability Theory with Stochastic Processes. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosen.Matemáticas Discretes i les seves Aplicacions. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA D'ESPANYA.
3. Paul L. Meyer. Probabilitat i Aplicacions Estadístiques. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Problemes Resolts de Matemàtica Discretes. McGRAW-HILL.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teoria i Problemes de Probabilitat. McGRAW-HILL.