TEOREMA DE BOLZANO: EXPLICACIÓ, APLICACIONS I EXERCICIS - MATEMÀTIQUES - 2026

El teorema de Bolzano estableix que si una funció és contínua en tots els punts d'un interval tancat i es compleix que la imatge de «a» i «b» (sota la funció) tenen signes oposats, llavors hi ha d'haver almenys un punt « c »en l'interval obert (a, b), de tal manera que la funció avaluada en« c »serà igual a 0.

Aquest teorema va ser enunciat pel filòsof, teòleg i matemàtic Bernard Bolzano el 1850. Aquest científic, nascut a l'actual República Txeca, va ser un dels primers matemàtics en la història en fer una demostració formal de les propietats de les funcions contínues.

explicació

El teorema de Bolzano és conegut també com el teorema dels valors intermedis, el qual ajuda en la determinació de valors específics, particularment zeros, de certes funcions reals d'una variable real.

En una funció donada f (x) contínua, és a dir, que f (a) if (b) estan connectats per una curvatura, on f (a) està per sota de l'eix x (és negativa), if (b) per sobre de l'eix x (és positiva), o viceversa, gràficament hi haurà un punt de tall a l'eix x que representarà un valor intermedi «c», que estarà entre "a" i "b", i el valor de f (c) serà igual a 0.

A l'analitzar gràficament el teorema de Bolzano, es pot saber que per a tota funció f contínua definida en un interval, on f (a) _* f (b) sigui menor que 0, hi haurà almenys una arrel «c» d'aquesta funció dins de l'interval (a, b).

Aquest teorema no estableix el nombre de punts existents en aquest interval obert, només afirma que hi ha com a mínim 1 punt.

demostració

Per demostrar el teorema de Bolzano se suposa sense pèrdua de generalitat que f (a) <0 if (b)> 0; d'aquesta forma, poden existir molts valors entre "a" i "b" per als que f (x) = 0, però només es necessita demostrar que existeix un.

Es comença avaluant f en el punt mig (a + b) / 2. Si f ((a + b) / 2) = 0 llavors la prova acaba aquí; en cas contrari, llavors f ((a + b) / 2) és positiu o negatiu.

Es tria una de les meitats de l'interval, tal que els signes de la funció avaluada en els extrems són diferents. Aquest nou interval serà.

Ara, si f avaluada en el punt mig de no és zero, llavors es realitza la mateixa operació d'abans; és a dir, s'escull una meitat d'aquest interval que compleixi la condició dels signes. Sigui aquest nou interval.

Si es continua amb aquest procés, llavors es tindran dues successions {an} i {bn}, tal que:

{An} és creixent i {bn} és decreixent:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤…. ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Si es calcula la longitud de cada interval, s'haurà de:

b1-a1 = (ba) / 2.

b2-a2 = (ba) / 2a.

….

bn-an = (ba) / 2 ^ n.

Per tant, el límit quan n tendeix a infinit de (bn-an) és igual a 0.

Utilitzant que {an} és creixent i acotada i {bn} és decreixent i fitada, s'ha que hi ha un valor «c» tal que:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤….≤ c ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

El límit de an és «c» i el límit de {bn} també és «c». Per tant, donat qualsevol δ> 0, sempre hi ha un «n» tal que l'interval està contingut dins de l'interval (c-δ, c + δ).

Ara, s'ha de demostrar que f (c) = 0.

Si f (c)> 0, llavors com f és contínua, hi ha un ε> 0 tal que f és positiva en tot l'interval (c-ε, c + ε). No obstant això, segons el que s'ha dit anteriorment, hi ha un valor «n» tal que f canvia de signe en i, a més, està contingut dins de (c-ε, c + ε), la qual cosa és una contradicció.

Si f (c) <0, llavors com f és contínua, hi ha un ε> 0 tal que f és negativa en tot l'interval (c-ε, c + ε); però hi ha un valor «n» tal que f canvia de signe en. Resulta que està contingut dins de (c-ε, c + ε), la qual cosa també és una contradicció.

Per tant, f (c) = 0 i això és el que es volia demostrar.

Per a què serveix?

A partir de la seva interpretació gràfica, el teorema de Bolzano és utilitzat per trobar arrels o zeros en una funció contínua, a través de la bisecció (aproximació), el qual és un mètode de recerca incremental que sempre divideix els intervals en 2.

Després es pren un interval o on ocorre el canvi de signe, i es repeteix el procés fins que l'interval sigui cada vegada menor, per així poder aproximar-se a el valor que es vol; és a dir, a el valor que fa 0 la funció.

En resum, per aplicar el teorema de Bolzano i així trobar les arrels, acotar els zeros d'una funció o donar-li solució a una equació, es realitzen els següents passos:

- Es verifica si f és una funció contínua en l'interval.

- Si l'interval no és donat, s'ha de trobar un on la funció sigui contínua.

- Es verifica si els extrems de l'interval donen signes oposats a l'ésser avaluats en f.

- Si no s'obtenen signes oposats, l'interval ha de ser dividit en dos subintervals usant el punt mitjà.

- Avaluar la funció en el punt mig i verificar que es compleix la hipòtesi de Bolzano, on f (a) _* f (b) <0.

- Depenent de l'signe (positiu o negatiu) de la valor trobat, es repeteix el procés amb un nou subinterval fins que es compleixi la hipòtesi esmentada.

exercicis resolts

exercici 1

Determinar si la funció f (x) = x ² - 2, té al menys una solució real en l'interval.

solució

Es té la funció f (x) = x ² - 2. Com és polinòmica, vol dir que és contínua en qualsevol interval.

Es demana determinar si té una solució real en l'interval, de manera que ara només es necessita substituir els extrems de l'interval en la funció per saber el signe d'aquests i saber si compleixen amb la condició de ser diferents:

f (x) = x ² - 2

f (1) = 1 ² - 2 = -1 (negatiu)

f (2) = 2 ² - 2 = 2 (positiu)

Per tant, signe de f (1) ≠ signe f (2).

Això assegura que sí que hi ha a l'almenys un punt «c» que pertany a l'interval, en el qual f (c) = 0.

En aquest cas es pot calcular de forma senzilla el valor «c» com segueix:

x ² - 2 = 0

x = ± √2.

Així, √2 ≈ 1,4 pertany a l'interval i compleix que f (√2) = 0.

exercici 2

Demostrar que l'equació x ⁵ + x + 1 = 0 té al menys una solució real.

solució

Primer notem que f (x) = x ⁵ + x + 1 és una funció polinòmica, el que significa que és contínua en tots els números reals.

En aquest cas no és donat cap interval, per això s'han de triar valors intuïtivament, preferiblement propers a 0, per avaluar la funció i trobar els canvis de signe:

Si es fa servir l'interval s'ha de:

f (x) = x ⁵ + x + 1.

f (0) = 0 ⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1 ⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Com que no hi ha canvi de signe, es repeteix el procés amb un altre interval.

Si s'utilitza l'interval s'ha de:

f (x) = x ⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1) ⁵ + (-1) + 1 = -1 <0.

f (0) = 0 ⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

En aquest interval hi ha un canvi de signe: signe de f (-1) ≠ signe de f (0), el que significa que la funció f (x) = x ⁵ + x + 1 té a l'almenys una arrel real «c» en l'interval, tal que f (c) = 0. en altres paraules, es compleix que x ⁵ + x + 1 = 0 té una solució real en l'interval.

referències

1. Bronshtein I, SK (1988). Manual de Matemàtica per a enginyers i Estudiants.. Editorial MIR.
2. George, A. (1994). Mathematics and Mind. Oxford University Press.
3. Ilin V, PE (1991). Anàlisi Matemàtica. En tres toms..
4. Jesús Gómez, FG (2003). Professors d'Ensenyament Secundari. Volum II. MAD.
5. Mateos, ML (2013). Propietats bàsiques de l'anàlisi en R. Editors, Dec 20.
6. Piskunov, N. (1980). Càlcul Diferencial i Integral..
7. Sydsaeter K, HP (2005). Matemàtica per a l'Anàlisi Econòmica. Félix Varela.
8. William H. Barker, RH (sf). Continuous Symmetry: From Euclid to Klein. Americana de Matemàtiques Soc.