El Teorema de Bayes és un procediment que ens permet expressar la probabilitat condicional d'un esdeveniment aleatori A donat B, en termes de la distribució de probabilitat de l'esdeveniment B donat A i la distribució de probabilitat de només A.
Aquest teorema és de molta utilitat, ja que gràcies a ell podem relacionar la probabilitat que un esdeveniment A ocorri sabent que va ocórrer B, amb la probabilitat que ocorri el contrari, és a dir, que passi B donat A.
El teorema de Bayes va ser una proposició platejada pel reverend Thomas Bayes, un teòleg anglès de segle XVIII qui també va ser matemàtic. Va ser autor de diversos treballs en teologia, però en l'actualitat és conegut per un parell de tractats matemàtics, entre els quals destaca com a resultat principal el ja referit Teorema de Bayes.
Bayes es va ocupar d'aquest teorema en un treball titulat "An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances" (Un assaig per a resoldre un problema en la doctrina de les possibilitats), publicat en 1763, i sobre el qual s'han desenvolupat grans estudis amb aplicacions en diverses àrees de coneixement.
explicació
Primer, per a una major compressió d'aquest teorema, són necessàries algunes nocions bàsiques de teoria de probabilitat, especialment el teorema de la multiplicació per probabilitat condicional, el qual estableix que
Per E i A esdeveniments arbitraris d'un espai mostral S.
I la definició de particions, la qual ens diu que si tenim A 1, A 2,…, A n esdeveniments d'un espai mostral S, aquests formaran una partició de S, si els A i són mútuament exclusius i la seva unió és S.
Tenint això, sigui B un altre esdeveniment. Llavors podem veure a B com
On les A i intersectades amb B són esdeveniments mútuament exclusius.
I en conseqüència,
Després, aplicant el teorema de la multiplicació
D'altra banda, la probabilitat condicional d'Ai donat B es defineix per
Substituint de manera adequada hem de per a qualsevol i
Aplicacions de el Teorema de Bayes
Gràcies a aquest resultat, grups de recerca i corporacions diverses han aconseguit millorar els sistemes que estan basats en coneixements.
Per exemple en l'estudi de malalties, el teorema de Bayes pot ajudar a discernir la probabilitat que una malaltia sigui trobada en un grup de persones amb una característica donada, prenent com a dades les taxes globals de la malaltia i el predomini d'aquesta característiques en persones tant sanes com malaltes.
D'altra banda, en el món de les altes tecnologies, ha influenciat a grans companyies que han desenvolupat, gràcies a aquest resultat, programari "Basats en el Coneixement".
Com a exemple quotidià tenim l'assistent de Microsoft Office. El teorema de Bayes ajuda a l'programari a avaluar els problemes que presenta l'usuari i determinar quin consell proporcionar i així poder oferir un millor servei segons els hàbits de l'usuari.
Cal destacar que aquesta fórmula va ser ignorada fins a temps recents, això es deu principalment al fet que quan es va desenvolupar aquest resultat fa 200 anys, hi havia poc ús pràctic per a ells. No obstant això, en la nostra època, gràcies als grans avenços tecnològics, els científics han aconseguit maneres de posar en pràctica aquest resultat.
exercicis Resolts
exercici 1
Una empresa de mòbils té dues màquines A i B. El 54% dels mòbils produïts són fets per la màquina A i la resta per la màquina B. No tots els mòbils produïts estan en bon estat.
La proporció de mòbils defectuosos fets per A és 0.2 i per B és 0.5. Quina és la probabilitat que un cel·lular d'aquesta fàbrica sigui defectuós? Quina és la probabilitat que, sabent que un mòbil és defectuós, procedeixi de la màquina A?
solució
Aquí, es té un experiment que es realitza en dues parts; a la primera part ocorren els esdeveniments:
A: cel·lular fet per la màquina A.
B: cel·lular fet per la màquina B.
Ja que la màquina A produeix el 54% dels mòbils i la resta els produeix la màquina B, s'ha de la màquina B produeix el 46% dels cel·lulars. Les probabilitats d'aquests esdeveniments són donades, a saber:
P (A) = 0,54.
P (B) = 0,46.
Els esdeveniments de la segona part de l'experiment són:
D: cel·lular defectuós.
E: cel·lular no defectuós.
Com es diu en l'enunciat, les probabilitats d'aquests esdeveniments depenen de l'resultat obtingut en la primera part:
P (DA) = 0,2.
P (DB) = 0,5.
Utilitzant aquests valors, es pot determinar també les probabilitats dels complements d'aquests esdeveniments, és a dir:
P (EA) = 1 - P (DA)
= 1 - 0,2
= 0,8
i
p (EB) = 1 - P (DB)
= 1 - 0,5
= 0,5.
Ara, l'esdeveniment D es pot escriure així:
Utilitzant el teorema de la multiplicació per probabilitat condicional resulta:
Amb la qual cosa es respon la primera pregunta.
Ara només falta calcular P (AD), per a la qual s'aplica el Teorema de Bayes:
Gràcies a el Teorema de Bayes es pot afirmar que la probabilitat que un cel·lular hagi estat fet per la màquina A, sabent que el mòbil és defectuós, és de 0.319.
exercici 2
Tres caixes contenen boles blanques i negres. La composició de cadascuna d'elles és la següent: U1 = {3B, 1N}, O2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.
Es tria a l'atzar una de les caixes i s'extreu d'ella una bola a l'atzar la qual resulta ser blanca. Quina és la caixa amb major probabilitat d'haver estat triada?
solució
Mitjançant U1, U2 i U3, representarem també la caixa triada.
Aquests successos constitueixen una partició de S i es verifica que P (U1) = P (O2) = P (O3) = 1/3 ja que que l'elecció de la caixa és a l'atzar.
Si B = {la bola extreta és blanca}, tindrem P (B-U1) = 3/4, P (B-U2) = 2/4, P (B-U3) = 1/4.
El que volem obtenir és la probabilitat que la bola hagi estat treta de la caixa Ui sabent que aquesta bola va ser blanca, és a dir, P (Ui -B), i veure quin dels tres valors va ser el més alt per conèixer de quina caixa ha estat més probable l'extracció de la bola blanca.
Aplicant el teorema de Bayes a la primera de les caixes:
I per a les altres dues:
P (U2-B) = 2/6 i P (O3-B) = 1/6.
Després, la primera de les caixes és la que té una major probabilitat d'haver estat triada per a l'extracció de la bola blanca.
referències
- Kai Lai Chung. Elementary Proability Theory with Stochastic Processes. Springer-Verlag New York Inc
- Kenneth.H. Rosen.Matemáticas Discretes i les seves Aplicacions. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA D'ESPANYA.
- Paul L. Meyer. Probabilitat i Aplicacions Estadístiques. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Problemes Resolts de Matemàtica Discretes. McGRAW-HILL.
- Seymour Lipschutz Ph.D. Teoria i Problemes de Probabilitat. McGRAW-HILL.