TEORIA DE CONJUNTS: CARACTERÍSTIQUES, ELEMENTS, EXEMPLES, EXERCICIS - MATEMÀTIQUES - 2025

La teoria de conjunts és una branca de la lògica-matemàtica que s'encarrega d'l'estudi de les relacions entre entitats denominades conjunts. Els conjunts es caracteritzen per ser col·leccions d'objectes d'una mateixa naturalesa. Aquests objectes són els elements del conjunt i poden ser: nombres, lletres, figures geomètriques, paraules que representen objectes, els objectes mateixos i altres.

Va ser Georg Cantor, cap a finals de segle XIX, que va proposar la teoria de conjunts. Mentre que altres notables matemàtics en el segle XX van fer la seva formalització: Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Bertrand Russell, Adolf Fraenkel entre d'altres.

Figura 1. Diagrama de Venn dels conjunts A, B i la seva intersecció A⋂ B. (elaboració pròpia).

Els diagrames de Venn són la forma gràfica de representar un conjunt, i consisteix en una figura plana tancada dins de la qual hi ha els elements del conjunt.

Per exemple a la figura 1 es mostren dos conjunts A i B, els quals té elements en comú, els elements comuns a A ia B. Aquests formen un nou conjunt que es diu el conjunt intersecció de A i B, que s'escriu en forma simbòlica de la següent manera:

A ∩ B

Característiques

El conjunt és un concepte primitiu com ho és en geometria el concepte de punt, recta o pla. No hi ha millor manera d'expressar el concepte que assenyalant exemples:

El conjunt E format pels colors de la bandera d'Espanya. Aquesta forma d'expressar el conjunt es diu per comprensió. El mateix conjunt E escrit per extensió és:

E = {vermell, groc}

En aquest cas, vermell i groc són elements del conjunt E. Ha de notar-se que els elements s'enumeren entre claus i no es repeteixen. En el cas de la bandera espanyola hi ha tres franges de colors (vermell, groc, vermell) dos dels quals es repeteixen, però els elements no es repeteixen quan s'expressa el conjunt.

Suposi el conjunt V format per les tres primeres lletres vocals:

V = {a, i, i}

El conjunt potència de V, que es denota per P (V) és el conjunt de tots els conjunts que poden formar-se amb els elements de V:

P (V) = {{a}, {i}, {i}, {a, i}, {a, i}, {i, i}, {a, i, i}}

Tipus de conjunts

conjunt finit

És un conjunt en el qual els seus elements són numerables. Exemples de conjunts finits són les lletres de l'abecedari espanyol, les vocals de l'castellà, els planetes del sistema Solar entre d'altres. A el nombre d'elements d'un conjunt finit se l'anomena la seva cardinalitat.

conjunt infinit

S'entén per conjunt infinit tot aquell que el nombre dels seus elements és incomptable, ja que sense importar el gran que pugui ser el nombre dels seus elements sempre és possible trobar més elements.

Un exemple de conjunt infinit és el conjunt dels nombres naturals N, el qual en forma extensiva s'expressa de la següent manera:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} És clarament un conjunt infinit, ja que no importa el gran que pugui ser un nombre natural, sempre pot trobar-se el següent gran, en un procés sense fi. Clarament la cardinalitat d'un conjunt infinit és ∞.

conjunt buit

És el conjunt que no conté cap element. El conjunt buit V es denota per Ø o mitjançant una parell de claus sense elements en el seu interior:

V = {} = Ø.

El conjunt buit és únic, per tant ha és incorrecte dir "un conjunt buit", la forma correcta és a dir "el conjunt buit".

Entre les propietats del conjunt buit es té que el mateix és subconjunt de qualsevol conjunt:

Ø ⊂ A

A més, si un conjunt és subconjunt del conjunt buit, llavors necessàriament dit conjunt serà el buit:

A ⊂ Ø ⇔ A = Ø

conjunt unitari

Es diu conjunt unitari tot conjunt que contingui un sol element. Per exemple, el conjunt dels satèl·lits naturals de la Terra és un conjunt unitari, l'únic element és la Lluna. El conjunt B dels nombres enters menors que 2 i més grans que zero només té l'element 1 per tant és un conjunt unitari.

conjunt binari

Un conjunt és binari si només posseeix dos elements. Per exemple el conjunt X, tal que x sigui un nombre real solució de x ^ 2 = 2. Aquest conjunt per extensió s'escriu així:

X = {-√2, + √2}

conjunt universal

El conjunt universal és un conjunt que conté altres conjunts de el mateix tipus o naturalesa. Per exemple, el conjunt universal dels nombres naturals és el conjunt dels nombres reals. Però els nombres reals és conjunt universal també dels nombres enters i dels nombres racionals.

elements bàsics

- Relacions entre conjunts

En els conjunts es poden establir diversos tipus de relació entre ells i els seus elements. Si dos conjunts A i B tenen exactament els mateixos elements entre ells s'estableix una relació d'igualtat que es denota així:

A = B

Si tots els elements d'un conjunt A pertanyen a un conjunt B, però no tots els elements de B pertanyen a A, llavors entre aquests conjunt hi ha una relació d'inclusió que es denota així:

A ⊂ B, però B ⊄ A

L'expressió anterior es llegeix: A és subconjunt de B, però B no és subconjunt d'A

Per indicar que algun o alguns elements pertanyen a un conjunt s'usa el símbol de pertinença ∈, per exemple per dir que x element o elements pertanyen a el conjunt A s'escriu simbòlicament així:

x ∈ A

Sí un element i no pertany a el conjunt A aquesta relació s'escriu així:

i ∉ A

La relació de pertinença es dóna entre els elements d'un conjunt i el conjunt, amb l'única excepció del conjunt potència, sent el conjunt potencia la col·lecció o conjunt de tots els conjunts possibles que poden formar-se amb els elements de dita conjunta.

Supose V = {a, i, i}, el seu conjunt potència és P (V) = {{a}, {i}, {i}, {a, i}, {a, i}, {i, i}, {a, i, i}}, en aquest cas el conjunt V passa a ser un element del conjunt P (V) i pot escriure:

V ∈ P (V)

- Propietats de la inclusió

La primera propietat de la inclusió estableix que tot conjunt està contingut en si mateix, o dit d'una altra forma, que és subconjunt de si mateix:

A ⊂ A

La altre propietat de la inclusió és la transitivitat: si A és subconjunt de B i B al seu torn és subconjunt de C, llavors A és subconjunt de C. En forma simbòlica la relació de transitivitat s'escriu així:

(A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

A continuació es mostra el diagrama de Venn corresponent a la transitivitat de la inclusió:

Figura 2. (A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

- Operacions entre conjunts

intersecció

La intersecció és una operació entre dos conjunts que dóna lloc a un nou conjunt pertanyent a el mateix conjunt universal dels dos primers. En aquest sentit, és una operació tancada.

Simbòlicament l'operació d'intersecció es formula així:

A⋂B = {x / x∈A ^ x∈B}

Un exemple és el següent: el conjunt A de les lletres d'en la paraula "elements" i el conjunt B de les lletres de la paraula "repetits", la intersecció entre A i B s'escriu així:

A⋂B = {i, l, m, n, t, s} ⋂ {r, i, p, t, i, d, o, s} = {i, t, s}. El conjunt universal U de A, de B i també de A⋂B és el conjunt de les lletres de l'alfabet espanyol.

Unió

La unió de dos conjunts és el conjunt format pels elements comuns als dos conjunts i els elements no comuns dels dos conjunts. L'operació d'unió entre conjunts s'expressa simbòlicament així:

A∪B = {x / x∈A vx∈B}

diferència

L'operació de diferència del conjunt A menys el conjunt B es denota per AB. AB és un nou conjunt format per tots els elements que estan en A i que no pertanyin a B. Simbòlicament s'escriu així:

A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Figura 3. A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

diferència simètrica

La diferència simètrica és una operació entre dos conjunts on el conjunt resultant està conformat pels elements no comuns als dos conjunts. La diferència simètrica simbòlicament es representa així:

A⊕B = {x / x∈ (AB) ^ x∈ (BA)}

exemples

exemple 1

El diagrama de Venn és una forma gràfica de representar els conjunts. Per exemple, el conjunt C de les lletres de la paraula conjunt es representa així:

exemple 2

A continuació es mostra mitjançant diagrames de Venn que, el conjunt de les vocals en la paraula "conjunt", és un subconjunt del conjunt de les lletres de la paraula "conjunt".

exemple 3

El conjunt Ñ de les lletres de l'abecedari espanyol és un conjunt finit, aquest conjunt per extensió s'escriu així:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, i, z} i la seva cardinalitat és 27.

exemple 4

El conjunt V de les vocals en espanyol és un subconjunt del conjunt Ñ:

V ⊂ Ñ per tant és un conjunt finit.

El conjunt finit V en forma extensiva s'escriu així: V = {a, i, i, o, u} i la seva cardinalitat és de 5.

exemple 5

Donats els conjunts A = {2, 4, 6, 8} i B = {1, 2, 4, 7, 9} determini AB i BA.

A - B són els elements de A que no estan en B:

A - B = {6, 8}

B - A són els elements de B que no estan en A:

B - A = {1, 7, 9}

exercicis resolts

exercici 1

Escriure en forma simbòlica i també per extensió el conjunt P dels nombres naturals parells menors que 10.

Solució: P = {x∈ N / x <10 ^ x mod 2 = 0}

P = {2, 4, 6, 8}

exercici 2

Suposi el conjunt A aquell format pels nombres naturals que són factors de 210, i el conjunt B aquell format pels nombres naturals primers menors que 9. Determineu per extensió tots dos conjunts i estableixi quina relació hi ha entre els dos conjunts.

Solució: Per a determinar els elements del conjunt A s'ha de començar per trobar els factors de l'nombre natural 210:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

Llavors el conjunt A s'escriu:

A = {2, 3, 5, 7}

Passem a considerar el conjunt B, el qual és dels primers menors que 9. L'1 no és primer perquè no compleix la definició de cosí: "un nombre és primer si i només si té exactament dos divisors l'1 i el propi nombre". El 2 és parell i alhora és primer perquè compleix la definició de cosí, els altres primers menors que 9 són 3, 5 i 7. De manera que el conjunt B és:

B = {2, 3, 5, 7}

Per tant els dos conjunts són iguals: A = B.

exercici 3

Determineu el conjunt els elements x són diferents de x.

Solució: C = {x / x ≠ x}

Com tot element, nombre o objecte és igual a si mateix, el conjunt C no pot ser un altre més que el conjunt buit:

C = Ø

exercici 4

Sigui el conjunt dels N dels nombres naturals i Z el conjunt dels nombres enters. Determineu N ⋂ Z i N ∪ Z.

solució:

N ⋂ Z = {x ∈ Z / x ≤ 0} = (-∞, 0]

N ∪ Z = Z causa de que N ⊂ Z.

referències

1. Garo, M. (2014). Mathematics: quadratic equations: How solve a quadratic equation. Marilú Garo.
2. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matemàtiques per a administració i economia. Pearson Educació.
3. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matemàtiques 1 SET. Llindar.
4. Preciado, CT (2005). Curs de Matemàtiques 3r. Editorial Progrés.
5. Matemàtiques 10 (2018). «Exemples de Conjunts Finits». Recuperat de: matematicas10.net
6. Wikipedia. Teoria de conjunts. Recuperat de: es.wikipedia.com