TEORIA DE CUES: HISTÒRIA, MODEL, PER A QUÈ SERVEIX I EXEMPLES - MATEMÀTIQUES - 2026

La teoria de cues és la branca de la matemàtica que estudia els fenòmens i comportaments en línies d'espera. Es defineixen quan un usuari que demana cert servei decideix esperar pel servidor per a ser processat.

Estudia els elements que es fan presents en les línies d'espera de qualsevol tipus, ja siguin d'elements humans, o de processament de dades o operacions. Les seves conclusions són de constant aplicació en línies de producció, registre i processament.

font Pexels

Els seus valors serveixen a la parametrització de processos previ a la seva implementació, servint d'element organitzacional clau per a la correcta gestió de planificació.

història

El major responsable en el seu desenvolupament va ser el matemàtic d'origen danès Agner Kramp Erlang, qui treballava a l'empresa de telecomunicacions Copenhaguen telephone Exchange.

Agner va observar les necessitats creixents que sorgien en el sistema de repartiment de servei telefònic de la companyia. Per això va començar l'estudi dels fenòmens matemàtics que es podien quantificar en el sistema de línia d'espera.

La seva primera publicació oficial va ser un article titulat Teoria de cues, el qual va veure la llum en 1909. El seu enfocament va estar dirigit principalment a el problema de dimensionament de línies i centrals de commutació telefònica per al servei de trucades.

Model i elements

Hi ha diferents models de cues on alguns aspectes són els responsables en definir i caracteritzar cada un d'ells. Abans de definir els models es presenten els elements que constitueixen a tot model de cues.

Elements

Font d'entrada o població potencial

És el conjunt de possibles demandants de el servei. Això s'aplica per a qualsevol tipus de variable, des d'usuaris humans fins a conjunts de paquets de dades. Es classifiquen en finits i infinits segons la naturalesa del conjunt.

la cua

Es refereix a el conjunt d'elements que ja formen part de sistema de servei. Els quals ja han acceptat esperar per la disponibilitat de l'operador. Es troben en estat d'espera de les resolucions de el sistema.

-El sistema de la cua

El componen la triada formada per la cua, el mecanisme de servei i la disciplina de la cua. Dóna estructura a el protocol de sistema, regint els criteris de selecció d'elements de la cua.

- Mecanisme de servei

És el procés mitjançant el qual es presta el servei a cada usuari.

-client

És tot element pertanyent a la població potencial que demana un servei. És important conèixer la taxa d'entrada de clients, així com també la probabilitat que té la font de generar-los.

Capacitat de la cua

Es refereix a la capacitat màxima d'elements que poden estar en espera de ser servits. Es pot considerar finita o infinita, sent en la majoria dels casos infinita per criteris de funcionalitat.

-Disciplina de la cua

És el protocol pel qual es determina l'ordre en què el client és atès. Serveix de canal de processament i ordre per als usuaris, sent el responsable de la seva disposició i moviment dins de la cua. Segons els seus criteris pot ser de diferents tipus.

- FIFO: De les sigles en anglès First in first out, també coneguda com FCFS first come first served. Que signifiquen respectivament Primer a entrar primer a sortir i primer a arribar primer a ser servit. Les dues formes denoten que el primer client a arribar serà el primer a ser atès.

- LIFO: Last in first out també coneguda com a pila o LCFS last menja first served. On s'atén primer a el client que ha arribat d'ultimo.

- RSS: Random selection of service també anomenat SIRO service in random order, on els clients són seleccionats segons un criteri aleatori o a l'atzar.

models

Existeixen 3 aspectes que regeixen el model de cues a considerar. Aquests són els següents:

- Distribució de el temps entre arribades: es refereix a la taxa amb què se sumen unitats a la cua. Són valors de caràcter funcional i estan subjectes a diferents variables segons la seva naturalesa.

- Distribució de el temps de servei: temps emprat pel servidor en processar el servei demandat pel client. Varia segons la quantitat d'operacions o gestions que s'estableixin.

Aquests 2 aspectes poden prendre els següents valors:

M: distribució exponencial exponencial (Markoviana).

D: Distribució degenerada (temps constants).

I _k: Distribució d'Erlang amb paràmetre de forma k.

G: Distribució general (qualsevol distribució).

- Nombre de servidors: Comportes de servei obertes i disponibles per a processar clients. Són essencials en la definició estructural de cada model de cues.

D'aquesta manera es defineixen els models de cues, prenent primer les inicials en majúscules de la distribució de el temps d'arribada i la distribució de el temps de servei. Finalment s'estudia el nombre de servidors.

Un exemple bastant comú és el MM 1, que es refereix a una distribució de temps d'arribada i servei de l'tipus exponencial, mentre es treballa amb un únic servidor.

Altres tipus de models de cues són MM s, MG 1, ME 1, DM 1, entre d'altres.

Tipus de sistemes de cues

Hi ha diversos tipus de sistemes de cues on múltiples variables serveixen d'indicadors de el tipus de sistema presentat. Però fonamentalment el regeixen el nombre de cues i el nombre de servidors. També s'aplica l'estructura lineal a la qual és sotmès a l'usuari per fer-se amb el servei.

- Una cua i un servidor. És l'estructura habitual, on l'usuari a través del sistema d'arribada ingressa a la cua, on després de complir la seva espera segons la disciplina de la cua, i passa a ser processat per l'únic servidor.

- Una cua i múltiples servidors. L'usuari, a l'acabar el seu temps d'espera, pot acudir a diferents servidors que poden ser executants dels mateixos processos, com també poden ser particulars per a diferents procediments.

- Diverses cues i múltiples servidors. L'estructura pot estar dividida per diferents processos o servir com a canal ampli per cobrir una demanda alta de servei comú.

- Una cua amb servidors seqüencials. Els usuaris passen per diferents etapes. Ingressen i prenen lloc en la cua, i a l'ésser atesos pel primer servidor, passen a una nova etapa que requereix previs compliments efectuats en el primer servei.

terminologia

- λ: Aquest símbol (Lambda) representa en la teoria de cues a la valor esperat d'entrades per interval de temps.

- 1 / λ: Correspon a el valor esperat entre els temps d'arribada de cada usuari que ingressa a el sistema.

- μ: El símbol Mu correspon a el nombre esperat de clients que completen el servei per unitat de temps. Això s'aplica per a cada servidor.

- 1 / μ: Temps de servei esperat pel sistema.

- ρ: El símbol Rho denota el factor d'utilització de servidor. Serveix per mesurar que porció de temps estarà ocupat el servidor processant usuaris.

ρ = λ / sμ

Si p> 1 el sistema serà transitori, tendirà a créixer, a causa de que la taxa d'utilitat de l'servidor està per sota de l'entrada d'usuaris a el sistema.

Si p <1 el sistema es mantindrà estable.

Per a què serveix la teoria

Va ser creada per tal d'optimitzar els processos de prestacions de servei telefònic. Això demarca una utilitat pel que fa als fenòmens de línies d'espera, on es persegueix reduir els valors de temps i anul·lar qualsevol tipus de re-treball o procés redundant que s'alenteixi el procés dels usuaris i operadors.

font Pexels

A nivells més complexos, on les variables d'entrada i servei prenen valors mixtos, els càlculs realitzats fora de la teoria de cues són gairebé impensables. Les fórmules aportades per la teoria van donar obertura a el càlcul avançat dins d'aquesta branca.

Elements presents en les fórmules

- Pn: Valor referent a la probabilitat que "n" unitats es troben dins el sistema.

- Lq: Longitud de la cua o valor mitjà d'usuaris en ella.

- Ls: Mitjana d'unitats en el sistema.

- Wq: Mitjana de taxa d'espera a la cua.

- Ws: Mitjana de taxa d'espera en el sistema.

- _λ: Mitjana de clients que ingressen a l'servei.

- Ws (t): Valor referent a la probabilitat que un client romangui més de "t" unitats en el sistema.

- Wq (t): Valor referent a la probabilitat que un client romangui més de "t" unitats a la cua.

exemples

Un registre posseeix un sol servidor per processar els passaports dels usuaris que acudeixen. A l'registre van una mitjana de 35 usuaris per hora. El servidor té la capacitat d'atendre 45 usuaris per hora. Es coneix prèviament que els usuaris romanen una mitjana de 5 minuts a la cua.

Es vol saber:

1. Temps mitjà que passa cada usuari en el sistema
2. Nombre mitjà de clients a la cua

Es té λ = 35/45 Clients / minuts

μ = 45/60 clients / minuts

Wq = 5 minuts

Part a

El temps mitjà en el sistema es pot calcular amb Ws

Ws = Wq + 1 / μ = 5 minuts + 1,33 = 6,33 minuts

D'aquesta manera es defineix el temps total que l'usuari estarà en el sistema, on 5 minuts seran a la cua i 1,33 minuts amb el servidor.

Part b

Lq = λ x Wq

Lq = (0,78 clients minuts) x (5 minuts) = 3,89 clients

A la cua hi pot haver més de 3 clients simultàniament.

referències

1. Direcció d'operacions. Editorial Vértice, 16 abr. 2007
2. Teoria de cues o línia d'espera. Germán Alberto Còrdova Barahona. Pontifícia Universitat Javeriana, 2002
3. Problemes resolts de teoria de sistemes. Roberto Sanchis Llopis. Publicacions de la Universitat Jaume I, 2002
4. Mètodes quantitatius d'organització industrial II. Joan Baptista Fonollosa Guardiet, José María Sallán Lleis, Albert Suñé Torrents. Univ. Politècnica. de Catalunya, 2009
5. Teoria d'inventari i la seva aplicació. Editorial Pax-Mèxic, 1967