- demostració
- Com es resol?
- Descomposició en fraccions simples
- història
- exercicis
- exercici 1
- exercici 2
- referències
La sumatòria telescòpica és una branca de les operacions amb sèries numèriques. Aborda les sumatòries d'elements des d'un valor inicial fins a "n" d'expressions la argument obeeix a qualsevol dels següents patrons:
(F x - F x + 1); (F x + 1 - F x)
Com també:
Font: Pixabay.com
Representen una sumatòria d'elements que a l'desenvolupar-se, és sotmesa a cancel·lacions de termes oposats. Fent que es pugui definir la següent igualtat per sumatòries telescòpiques:
El seu nom prové de la relació amb l'aparença d'un telescopi clàssic, els quals podien plegar-se i desplegar-se, canviant notablement la seva dimensió. De la mateixa manera les sumatòries telescòpiques, que en la seva naturalesa són infinites, poden resumir-se en l'expressió simplificada:
F 1 - F n + 1
demostració
A l'desenvolupar la sumatòria de termes, és prou evident l'eliminació de factors. On per a cada un dels casos, apareixeran elements oposats en la següent iteració.
Es prendrà com a exemple el primer cas, (F x - F x + 1), ja que el procés funciona de manera homòloga per a (F x + 1 -F x).
Desenvolupant els 3 primers valors {1, 2, 3} s'observa la tendència de la simplificació
X 1 (F 1 - F 1 + 1) = F 1 - F 2
X 2 (F 2 - F 2 + 1) = F 2 - F 3
X 3 (F 3 - F 3 + 1) = F 3 - F 4
On a l'expressar la sumatòria dels elements descrits:
X 1 + X 2 + X 3 = F 1 - F 2 + F 2 - F 3 + F 3 - F 4
S'observa que els termes F 2 i F 3 estan descrits al costat dels seus oposats, la qual cosa fa inevitable la seva simplificació. De la mateixa manera s'observa que els termes F 1 i F 4 es mantenen.
Si la suma va ser efectuada des de x = 1 fins ax = 3, vol dir que l'element F 4 correspon a el terme genèric F n + 1.
Demostrant així la igualtat:
Com es resol?
La finalitat de les sumatòries telescòpiques és facilitar la feina, de manera que no resulti necessari desenvolupar una quantitat infinita de termes, o simplificar alguna cadena de sumands massa llarga.
Per a la seva resolució només caldrà avaluar els termes F 1 i F n + 1. Aquestes simples substitucions componen el resultat final de la sumatòria.
La totalitat dels termes no serà expressada, fent-se necessària únicament per a la demostració de l'resultat, però no per al procés normal de càlcul.
L'important és notar la convergència de la sèrie numèrica. En ocasions l'argument de la sumatòria no estarà expressat de forma telescòpica. En aquests casos és molt comú la implementació de mètodes alternatius de factorització.
El mètode de factorització característic en les sumatòries telescòpiques, és el de fraccions simples. Aquest es dóna quan una fracció original es descompon en una suma de diverses fraccions, on pot observar-se el patró telescòpic (F x - F x + 1) o (F x + 1 - F x).
Descomposició en fraccions simples
Per verificar la convergència de les sèries numèriques, és molt comú transformar expressions racionals amb el mètode de fraccions simples. La meta és modelar l'argument fins donar-li la forma d'una sumatòria telescòpica.
Per exemple, la següent igualtat representa una descomposició en fraccions simples:
A l'desenvolupar la sèrie numèrica i aplicar les propietats corresponents l'expressió pren la següent forma:
On s'aprecia la forma telescòpica (F x - F x + 1).
El procediment és bastant intuïtiu i consisteix a trobar els valors de l'numerador que, sense trencar la igualtat, permetin separar els productes que es troben en el denominador. Les equacions que sorgeixen en la determinació d'aquests valors, es plantegen segons comparacions entre els dos costats de la igualtat.
Aquest procediment s'observa pas a pas en el desenvolupament de l'exercici 2.
història
És bastant incert poder definir el moment històric en què es van presentar les sumatòries telescòpiques. No obstant això, la seva implementació comença a veure al segle XVII, en els estudis de sèries numèriques realitzats per Leibniz i Huygens.
Tots dos matemàtics, a l'explorar les sumatòries de nombres triangulars, comencen a notar tendències en la convergència de certes sèries d'elements successius. Però encara més interessant és el començament de la modelització d'aquestes expressions, en elements que no necessàriament se succeeixen.
De fet, l'expressió usada amb anterioritat per referir-nos a les fraccions simples:
Va ser presentada per Huygens i va cridar immediatament l'atenció de Leibniz. Qui amb el temps va poder observar la convergència a la valor 2. Sense saber-ho va implementar el format de sumatòria telescòpica.
exercicis
exercici 1
Definiu a quin terme convergeix la següent sumatòria:
A l'desenvolupar manualment el sumatori s'observa el següent patró:
(2 3 - 2 4) + (2 4 - 2 5) + (2 5 - 2 6)…. (2 10 - 2 11)
On els factors des de 2 4 fins a 2 10 presenten parts positives i negatives, fent evident la seva cancel·lació. Després els únics factors que no es simplificaran seran el primer «2 3 " i l'últim «2 11 ".
D'aquesta manera a l'implementar el criteri de sumatòria telescòpica s'obté:
exercici 2
Transformar l'argument en una sumatòria de tipus telescòpica i defineixi la convergència de la sèrie:
Tal com s'indica a l'enunciat, el primer serà realitzar la descomposició en fraccions simples, per així replantejar l'argument i expressar-lo en forma telescòpica.
S'han de trobar 2 fraccions els denominadors siguin respectivament "n" i "n + 1", on el mètode utilitzat a continuació ha d'aconseguir els valors de l'numerador que compleixen la igualtat.
Es procedeix a definir els valors de A i B. Primerament s'efectua suma de fraccions.
Després, es simplifiquen els denominadors i s'estableix una equació lineal.
En el següent pas s'opera l'expressió de la dreta, fins a aconseguir un patró comparable amb el "3" de l'esquerra.
Per definir les equacions a utilitzar, s'han de comparar els resultats de tots dos costats de la igualtat. És a dir, no s'observen valors de la variable n a la banda esquerra, d'aquesta forma A + B haurà de ser igual a zero.
A + B = 0; A = -B
D'altra banda el valor constant A haurà de ser igual a la valor constant març.
A = 3
Per tant.
A = 3 i B = -3
Definits i als valors de l'numerador per a les fraccions simples, es procedeix a replantejar la sumatòria.
On ja s'ha aconseguit aconseguir la forma genèrica de sumatòria telescòpica. Es procedeix a desenvolupar la sèrie telescòpica.
On a l'dividir entre un nombre molt gran el resultat s'aproximarà cada vegada més a zero, observant-se la convergència de la sèrie a el valor 3.
Aquest tipus de sèries no podrien ser resoltes d'una altra manera, a causa de la infinita quantitat d'iteracions que defineixen a el problema. No obstant això, aquest mètode, al costat de molts altres emmarquen la branca d'estudi de les sèries numèriques, l'objectiu és determinar els valors de convergència o definir la divergència d'aquestes sèries.
referències
- Lliçons de càlcul. Manuel Franco, Manuel Franco Nicolau, Francisco Martínez González, Roque Molina Legaz. Editum, 1994.
- Càlcul Integral: Successions i Sèries de Funcions. Antonio Rivera Figueroa. Grup Editorial Pàtria 21 d'oct. 2014.
- A Course in Calculus and Reial Analysis. Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. Springer Science & Business Media, 5 juny. 2006.
- Infinite sèries. Tomlinson Fort. The Clarendon Press, 1930.
- Elements of the Theory of Infinite Processes. Lloyd Leroy Smail. McGraw-Hill Book Company, Incorporated, 1923.