La suma de Riemann és el nom que rep el càlcul aproximat d'una integral definida, mitjançant una sumatòria discreta amb un nombre de termes finit. Una aplicació comú és l'aproximació de l'àrea de funcions en un gràfic.

Va ser el matemàtic alemany Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) qui va oferir per primera vegada una definició rigorosa de la integral d'una funció en un interval donat. La va donar a conèixer en un article publicat en 1854.

Figura 1. La suma de Riemann es defineix sobre una funció fi sobre una partició en l'interval. Font: Fanny Zapata.

La suma de Riemann es defineix sobre una funció i = f (x), amb x pertanyent a l'interval tancat. Sobre aquest interval s'efectua una partició P de n elements:

P = {x ₀ = a, x ₁, x ₂,…, x _n = b}

Això vol dir que l'interval es divideix de la següent manera:

x _k-1 ≤ t _k ≤ x _k

A la figura 1 es mostra gràficament la suma de Riemann de la funció f en l'interval sobre una partició de quatre subintervals, els rectangles de color gris.

La suma representa l'àrea total dels rectangles i el resultat d'aquesta suma s'aproxima numèricament a l'àrea sota la corba f, entre les abscisses x = x ₀ i x = x ₄.

Per descomptat, l'aproximació a l'àrea sota la corba millora moltíssim en la mesura que el nombre n de particions sigui més gran. D'aquesta manera la suma convergeix a l'àrea sota la corba, quan el nombre n de particions tendeix a infinit.

Fórmules i propietats

La suma de Riemann de la funció f (x) sobre la partició:

P = {x ₀ = a, x ₁, x ₂,…, x _n = b}

Definida sobre l'interval, està donada per:

S (P, f) = Σ _{k = 1} ⁿ f (t _k) (x _k - x _k-1)

On t _k és un valor en l'interval. A la suma de Riemann se solen utilitzar intervals regulars d'ample Ax = (b - a) / n, on a i b són els valors mínim i màxim de l'abscissa, mentre que n és el nombre de subdivisions.

En aquest cas la suma dreta de Riemann és:

Sd (f, n) = * Ax

Figura 2. Suma dreta de Riemann. Font: Wikimedia Commons. 09glasgow09.

Mentre que la suma esquerra de Riemann s'expressa com:

Si (f, n) = * Ax

Figura 3. Suma de Riemann esquerra. Font: Wikimedia Commons. 09glasgow09

Finalment la suma central de Riemann és:

Sc (f, n) = * Ax

Figura 4. Suma intermèdia de Riemann. Font: Wikimedia Commons. 09glasgow09

Depenent d'on se situï el punt t _k en l'interval la suma de Riemann pot sobreestimar o subestimar el valor exacte de l'àrea sota la corba de la funció y = f (x). És a dir, els rectangles poden sobresortir de la corba o bé quedar una mica per sota d'aquesta.

L'àrea sota la corba

La principal propietat de la suma de Riemann i de la qual esdevé la seva importància, és que si el nombre de subdivisions tendeix a infinit, el resultat de la suma convergeix a la integral definida de la funció:

exercicis resolts

- Exercici 1

Calcular el valor de la integral definida entre a = -2 fins b = +2 de la funció:

f (x) = x ²

Feu ús d'una suma de Riemann. Per a això trobi primer la suma per n particions regulars de l'interval i després prengui el límit matemàtic per al cas que el nombre de particions botiga a infinit.

solució

Aquests són els passos a seguir:

-En primer lloc es defineix l'interval de les particions com:

Ax = (b - a) / n.

-Després la suma de Riemann per la dreta corresponent a la funció f (x) queda així:

-I després es substitueix acuradament a la sumatòria:

-El següent pas és separar les sumatòries i treure les quantitats constants com a factor comú de cada suma. Cal tenir en compte que l'índex és i, per tant els nombres i els termes amb n són considerats constants:

-Es avalua cada sumatòria, ja que per a cadascuna d'elles hi ha expressions apropiades. Per exemple, la primera de les sumatòries dóna n:

-Per últim s'ha de la integral que es vol calcular és:

El lector pot comprovar que aquest és el resultat exacte, el qual pot obtenir-se resolent la integral indefinida i avaluant els límits d'integració per la regla de Barrow.

- Exercici 2

Determini en forma aproximada l'àrea sota la funció:

f (x) = (1 / √ (2π)) i ^{(-x 2 /2)}

Entre x = -1 ix = + 1, usant una suma central de Riemann amb 10 particions. Comparar amb el resultat exacte i estimar la diferència percentual.

solució

El pas o increment entre dos valors discrets successius és:

Ax = (1 - (-1) / 10 = 0,2

De manera que la partició P sobre la qual es defineixen els rectangles queda així:

P = {-1,0; -0,8; -0,6; -0,4; -0,2; 0,0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0}

Però com el que es vol és la suma central, la funció f (x) serà avaluada en els punts mitjans dels subintervals, és a dir en el conjunt:

T = {-0,9; -0,7; -0,5; -0,3; -0,1; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9}.

La suma (central) de Riemann queda així:

S = f (-0,9) * 0,2 + f (-0,7) * 0,2 + f (-0,5) * 0,2 +… + f (0,7) * 0,2 + f (0,9) * 0,2

Atès que la funció f és simètrica, és possible reduir la suma a 5 termes i el resultat es multiplica per dos:

S = 2 * 0,2 * {f (0,1) + f (0,3) + f (0,5) + f (0,7) + f (0,9)}

S = 2 * 0,2 * {0,397+ 0,381+ 0,352+ 0,312+ 0,266} = 0,683

La funció donada en aquest exemple no és altra que la coneguda campana de Gauss (normalitzada, amb mitjana igual a zero i desviació estàndard un). Se sap que l'àrea sota la corba en l'interval per a aquesta funció és 0,6827.

Figura 5. Àrea sota una campana de Gauss aproximada mitjançant una suma de Riemann. Font: F. Zapata.

Això vol dir que la solució aproximada amb tot just 10 termes coincideix amb la solució exacta fins a tres decimals. L'error percentual entre la integral aproximada i l'exacta és de 0,07%.

referències

1. Casteleiro, JM, & Gómez-Álvarez, RP (2002). Càlcul integral (Illustrated ed.). Madrid: ESIC Editorial.
2. UNICAN. Història de l'concepte d'integral. Recuperat de: repositorio.unican.es
3. UIS. Sumes de Riemann. Recuperat de: matematicas.uis.edu.co
4. Wikipedia. Suma de Riemann. Recuperat de: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Integració de Riemann. Recuperat de: es.wikipedia.com