- Exemples de suma de polinomis
- Sumar dos o més polinomis amb més d'una variable
- Exercicis de suma de polinomis
- - Exercici 1
- solució
- - Exercici 2
- solució a
- referències
La suma de polinomis és l'operació que consisteix a addicionar dos o més polinomis, donant com a resultat un altre polinomi. Per dur-la a terme cal sumar els termes de la mateixa ordre de cada un dels polinomis i indicar la suma resultant.
Primer repassem breument el significat de "termes de el mateix ordre". Un polinomi qualsevol es compon de sumes i / o restes de termes.
Figura 1. Per a sumar dos polinomis cal ordenar-los i després reduir els termes semblants. Font: Pixabay + Wikimedia Commons.
Els termes poden ser productes de nombres reals i una o més variables, representades amb lletres, per exemple: 3x 2 i -√5.a 2 bc 3 són termes.
Doncs bé, els termes de el mateix ordre són aquells que tenen el mateix exponent o potència, encara que poden tenir diferent coeficient.
-Termes d'igual ordre són: 5x 3, √2 x 3 i -1 / 2x 3
-Termes d'ordres diferents: -2x -2, 2xy -1 i √6x 2 i
És important tenir present que només els termes de el mateix ordre es poden sumar o restar, operació que es coneix com reducció. En cas contrari la suma simplement es deixa indicada.
Un cop aclarit el concepte de termes de el mateix ordre, els polinomis se sumen seguint aquests passos:
- Ordenar primer els polinomis a sumar, tots de la mateixa manera, ja sigui de forma creixent o decreixent, és a dir, amb les potències de menor a major o viceversa.
- Completar, en cas que falti alguna potència en la seqüència.
- Reduir els termes semblants.
- Indicar la suma resultant.
Exemples de suma de polinomis
Començarem sumant dos polinomis amb una sola variable anomenada x, per exemple els polinomis P (x) i Q (x) donats per:
P (x) = 2x 2 - 5x 4 + 2x -x 5 - 3x 3 + 12
Q (x) = x 5 - 25 x + x 2
Seguint els passos descrits, es comença per ordenar-los en forma decreixent, que és la manera més usual:
P (x) = -x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 2x 2 + 2x + 12
Q (x) = x 5 + x 2 - 25x
El polinomi Q (x) no està complet, es veu que falten potències amb exponent 4, 3 i 0. Aquesta última és simplement el terme independent, el qual no té lletra.
Q (x) = x 5 + 0x 4 + 0x 3 + x 2 - 25x + 0
Un cop fet aquest pas, ja estan preparats per sumar. Es poden anar sumant els termes semblants i després indicar la suma, o bé col·locar els polinomis ordenats un sota de l'altre i reduir per columnes, d'aquesta manera:
- x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 2x 2 + 2x + 12
+ X 5 + 0x 4 + 0x 3 + x 2 - 25x + 0 +
--------------------
0x 5 -5x 4 - 3x 3 + 3x 2 - 23x + 12 = P (x) + Q (x)
És important notar que quan se suma, es fa de forma algebraica respectant la regla dels signes, d'aquesta manera 2x + (-25 x) = -23x. És a dir, si els coeficients tenen diferent signe es resten i el resultat porta el signe de l'major.
Sumar dos o més polinomis amb més d'una variable
Quan es tracta de polinomis amb més d'una variable, es tria una d'elles per ordenar-lo. Per exemple, suposem que es demana sumar:
R (x, y) = 5x 2 - 4y 2 + 8xy - 6y 3
I:
T (x, y) = ½ x 2 - 6y 2 - 11xy + x 3 i
Es tria una de les variables, per exemple la x per ordenar:
R (x, y) = 5x 2 + 8xy - 6y 3 - 4y 2
T (x, y) = + x 3 i + ½ x 2 - 11xy - 6y 2
Immediatament es completen els termes que falten, d'acord amb els que cada polinomi té:
R (x, y) = 0x 3 i + 5x 2 + 8xy - 6y 3 - 4y 2
T (x, y) = + x 3 i + ½ x 2 - 11xy + 0i 3 - 6y 2
I ja tots dos estan a punt per reduir els termes semblants:
0x 3 i + 5x 2 + 8xy - 6y 3 - 4y 2
+ X 3 i + ½ x 2 - 11xy + 0i 3 - 6y 2 +
----------------------
+ X 3 i + 11 / 2x 2 - 3xy - 6y 3 - 10y 2 = R (x, y) + T (x, y)
Exercicis de suma de polinomis
- Exercici 1
En la següent suma de polinomis, indicar el terme que ha d'anar en l'espai en blanc per obtenir el polinomi suma:
-5x 4 + 0x 3 + 2x 2 + 1
x 5 + 2x 4 - 21x 2 + 8x - 3
2x 5 + 9x 3 -14x
----------------
-6x 5 + 10x 4 -0x 3 + 5x 2 - 11x + 21
solució
Per obtenir -6x maig es requereix un terme de la forma ax 5, tal que:
a + 1+ 2 = -6
Per tant:
a = -6-1-2 = -9
I el terme buscat és:
-9x maig
-Es procedeix de manera similar per trobar la resta dels termes. Aquí hi ha el d'exponent 4:
-5 + 2 + a = 10 → a = 10 + 5-2 = 13
El terme que falta és: 13x 4.
-Per a les potències de x 3 és immediat que el terme ha de ser -9x 3, d'aquesta manera el coeficient de el terme cúbic és 0.
-Quant a les potències a l'quadrat: a + 8 - 14 = -11 → a = -11 - 8 + 14 = -5 i el terme és -5x 2.
-El terme lineal s'obté mitjançant a +8 -14 = -11 → a = -11 + 14-8 = -5, sent el terme que falta -5x.
-Per últim el terme independent és: 1 -3 + a = -21 → a = -19.
- Exercici 2
Un terreny pla està tancat com es mostra a la figura. Trobar una expressió per:
a) El perímetre i
b) La seva àrea, en termes de les longituds assenyalades:
Figura 2. Un terreny pla és tancat amb la forma i dimensions assenyalades. Font: F. Zapata.
solució a
El perímetre es defineix com la suma dels costats i contorns de la figura. Començant en la cantonada inferior esquerra, en el sentit de les manetes de l'rellotge, es té:
Perímetre = i + x + longitud de la semicircumferència + z + longitud de la diagonal + z + z + x
La semicircumferència té diàmetre igual a x. Com el radi és la meitat de l'diàmetre, s'ha de:
Ràdio = x / 2.
La fórmula per a la longitud d'una circumferència completa és:
L = 2π x Ràdio
llavors:
Longitud de la semicircumferència = ½. 2π (x / 2) = πx / 2
Per la seva banda la diagonal es calcula amb el teorema de Pitàgores aplicat als costats: (x + i) que és costat vertical i z, que és l'horitzontal:
Diagonal = 1/2
Es substitueixen aquestes expressions en la de l'perímetre, per obtenir:
Perímetre = i + x + πx / 2 + z + 1/2 + z + x + z
Es redueixen els termes semblants, ja que la suma requereix que el resultat es simplifiqui a l'màxim:
Perímetre = i + + z + z + z + 1/2 = i + (2 + π / 2) x + 3z
solució b
L'àrea resultant és la suma de l'àrea de l'rectangle, el semicercle i el triangle rectangle. Les fórmules per a aquestes àrees són:
- Rectangle: base x alçada
- Semicercle: ½ π (Ràdio) 2
- Triangle: base x altura / 2
Àrea de l'rectangle
(x + i). (x + z) = x 2 + xz + ix + yz
Àrea de l'semicercle
½ π (x / 2) 2 = π x 2 /8
Àrea de el triangle
½ z (x + i) = ½ zx + ½ zi
àrea total
Per trobar l'àrea total se sumen les expressions trobades per a cada àrea parcial:
Àrea total = x 2 + xz + ix + z + (π x 2 /8) + ½ zx + ½ zi
I finalment es redueixen tots els termes que siguin semblants:
Àrea total = (1 + π / 8) x 2 + 3/2 xi + 3 / 2yz + ix
referències
- Baldor, A. 1991. Àlgebra. Editorial Cultural Veneçolana SA
- Jiménez, R. 2008. Àlgebra. Prentice Hall.
- Math is Fun. Adding and subtracting polynomials. Recuperat de: mathsisfun.com.
- Monterey Institute. Sumant i restant polinomis. Recuperat de: montereyinstitute.org.
- UC Berkeley. Àlgebra of polynomials. Recuperat de: math.berkeley.edu.