SUMA DELS QUADRATS DE DOS NOMBRES CONSECUTIUS - MATEMÀTIQUES - 2025

Per saber quina és la suma dels quadrats de dos nombres consecutius, es pot trobar una fórmula, amb la qual solament n'hi ha prou substituir els números involucrats per obtenir el resultat.

Aquesta fórmula es pot trobar de manera general, és a dir, que serveix per a qualsevol parell de nombres consecutius.

A el dir «números consecutius», implícitament s'està dient que tots dos nombres són nombres enters. I a l'parlar de «els quadrats» s'està referint a elevar a l'quadrat cada número.

Per exemple, si es consideren els números 1 i 2, els seus quadrats són 1a = 1 i 2a = 4, per tant, la suma dels quadrats és 1 + 4 = 5.

D'altra banda, si es prenen els números 5 i 6, els seus quadrats són 5² = 25 i 6² = 36, de manera que la suma dels quadrats és 25 + 36 = 61.

Quina és la suma dels quadrats de dos nombres consecutius?

L'objectiu ara és generalitzar el fet en els exemples anteriors. Per a això és necessari trobar un forma general d'escriure un nombre enter i el seu sencer consecutiu.

Si s'observa dos enters consecutius, per exemple 1 i 2, es pot apreciar que 2 es pot escriure com 1 + 1. També, si s'observen els números 23 i 24, es conclou que 24 es pot escriure com 23 + 1.

Per als enters negatius també es pot verificar aquest comportament. En efecte, si es consideren -35 i -36, es pot veure que -35 = -36 + 1.

Per tant, si s'escull qualsevol nombre enter «n», llavors el sencer consecutiu a «n» és «n + 1». Així, ja s'ha establert una relació entre dos enters consecutius.

Quina és la suma dels quadrats?

Siguin donats dos enters consecutius «n» i «n + 1», llavors els seus quadrats són «n ²» i «(n + 1) ²». Utilitzant les propietats dels productes notables, aquest últim terme es pot escriure així:

(n + 1) ² = n ² + 2 * n * 1 + 1a = n ² + 2n + 1.

Finalment, la suma dels quadrats dels dos nombres consecutius està donada per l'expressió:

n ² + n ² + 2n + 1 = 2n² + 2n + 1 = 2n (n + 1) +1.

Si es detalla la fórmula anterior, es pot apreciar que només n'hi ha prou conèixer el menor nombre enter «n» per conèixer quina és la suma dels quadrats, és a dir, només n'hi ha prou utilitzar el menor dels dos nombres enters.

Una altra perspectiva de la fórmula obtinguda és: es multipliquen els números escollits, després el resultat obtingut és multiplicat per 2 i finalment se li suma 1.

D'altra banda, el primer sumant de la dreta és un nombre parell, i a l'sumar-li 1 el resultat serà imparell. Això diu, que el resultat de sumar els quadrats de dos nombres consecutius sempre serà un nombre imparell.

També es pot destacar que com s'està sumant dos nombres elevats a l'quadrat, llavors aquest resultat sempre serà positiu.

exemples

1.- Penseu els sencers 1 i 2. El menor sencer és 1. Utilitzant la fórmula anterior, es conclou que la suma dels quadrats és: 2 * (1) * (1 + 1) + 1 = 2 * 2 + 1 = 4 + 1 = 5. la qual cosa concorda amb els comptes realitzades a l'començament.

2.- Si es prenen els sencers 5 i 6, llavors la suma dels quadrats serà 2 * 5 * 6 + 1 = 60 + 1 = 61, la qual cosa també coincideix amb el resultat obtingut a l'començament.

3.- Si es trien els sencers -10 i -9, llavors la suma dels seus quadrats és: 2 * (- 10) * (- 9) + 1 = 180 + 1 = 181.

4.- Siguin els punts en aquesta oportunitat -1 i 0, llavors la suma dels seus quadrats està donada per 2 * (- 1) * (0) + 1 = 0 + 1 = 1.

referències

1. Bouzas, PG (2004). Àlgebra a secundària: Treball cooperatiu a matemàtiques. Narcea Edicions.
2. Cabello, RN (2007). Potències i Arrels. Publicatuslibros.
3. Cabrera, VM (1997). Càlcul 4000. Editorial Progrés.
4. Guevara, MH (sf). El Conjunt dels Nombres Enters. EUNED.
5. Oteyza, E. d. (2003). Albegra. Pearson Educació.
6. Smith, SA (2000). Algebra. Pearson Educació.
7. Thomson. (2006). Passing the GED: Mathematics. Interlingua Publishing.