SUCCESSIONS QUADRÀTIQUES: EXEMPLES, REGLA I EXERCICIS RESOLTS - MATEMÀTIQUES - 2025

Les successions quadràtiques, en termes matemàtics, consisteixen en seqüències de nombres que segueixen una certa regla aritmètica. És interessant conèixer aquesta regla per determinar qualsevol dels termes d'una successió.

Una manera d'aconseguir-és determinar la diferència entre dos termes successius i veure si el valor obtingut es repeteix sempre. Quan és així, es diu que es tracta d'una successió regular.

Les successions numèriques són una forma d'organitzar seqüències de nombres. Font: pixabay.com

Però si no es repeteix, llavors es pot provar a examinar la diferència entre les diferències i veure si aquest valor és constant. Si és així, llavors es tracta d'una successió quadràtica.

Exemples de successions regulars i successions quadràtiques

Els següents exemples ajuden a aclarir el que s'ha explicat fins ara:

Exemple de successió regular

Sigui la successió S = {4, 7, 10, 13, 16,……}

Aquesta successió, denotada per S, és un conjunt numèric infinit, en aquest cas de nombres enters.

Es pot apreciar que es tracta d'una successió regular, perquè cada terme s'obté sumant 3 a terme o element anterior:

4

4 + 3 = 7

7 + 3 = 10

10 + 3 = 13

13+ = 3 = 16

Dit d'una altra manera: aquesta successió és regular perquè la diferència entre el terme següent i l'anterior dóna un valor fix. En l'exemple donat aquest valor és el 3.

A les successions regulars que s'obtenen sumant una quantitat fixa a terme anterior, també se'ls denomina progressions aritmètiques. I a la diferència -constante- entre termes successius se li denomina raó i es denota com R.

Exemple de successió no regular i quadràtica

Vegeu ara la següent successió:

S = {2, 6, 12, 20, 30,….}

Quan es calculen les diferències successives s'obtenen els següents valors:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Les seves diferències no són constants, per la qual cosa es pot afirmar que és una successió NO regular.

No obstant això, si considerem el conjunt de les diferències, es té una altra successió, la qual es denotarà com S _dif:

S _dif = {4, 6, 8, 10,….}

Aquesta nova successió si és una successió regular, ja que cada terme s'obté sumant el valor fix R = 2 a l'anterior. Per això podem afirmar que S és successió quadràtica.

Regla general per construir una successió quadràtica

Hi ha una fórmula general per construir una successió quadràtica:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C

En aquesta fórmula, T _n és el terme de la posició n de la successió. A, B i C són valors fixos, mentre que n va variant d'un en un, és a dir 1, 2, 3, 4,…

En la successió S de l'exemple anterior A = 1, B = 1 i C = 0. D'allí es dedueix que la fórmula que genera tots els termes és: T _n = n ² + n

És a dir:

T ₁ = 1 ² + 1 = 2

T ₂ = 2 ² + 2 = 6

T ₃ = 3 ² + 3 = 12

T ₅ = 5 ² + 5 = 30

T _n = n ² + n

Diferència entre dos termes consecutius d'una successió quadràtica

T _{n + 1} - T _n = -

Desenvolupant l'expressió mitjançant producte notable queda:

T _{n + 1} - T _n = A ∙ n ² + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n ² - B ∙ n - C

A l'simplificar-s'obté:

T _{n + 1} - T _n = 2 ∙ A ∙ n + A + B

Aquesta és la fórmula que dóna la successió de les diferències S _Dif que pot escriure així:

Dif _n = A ∙ (2n + 1) + B

On clarament el terme següent és de 2 ∙ A vegades l'anterior. És a dir, la raó de la successió de les diferències S _dif és: R = 2 ∙ A.

Exercicis resolts de successions quadràtiques

exercici 1

Sigui la successió S = {1, 3, 7, 13, 21,……}. Determineu si:

i) És regular o no

ii) És quadràtica o no

iii) Fos quadràtica, la successió de les diferències i la seva raó

respostes

i) Calculem la diferència el terme següent i l'anterior:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Podem afirmar que la successió S no és regular, perquè la diferència entre termes successius no és constant.

ii) La successió de les diferències si és regular, perquè la diferència entre els seus termes és el valor constant 2. Per tant la successió original S és quadràtica.

iii) Ja vam determinar que S és quadràtica, la successió de les diferències és:

S _dif = {2, 4, 6, 8,…} i la seva raó és R = 2.

exercici 2

Sigui la successió S = {1, 3, 7, 13, 21,……} de l'exemple anterior, on es va verificar que és quadràtica. Determineu:

i) La fórmula que determina el terme general T _n.

ii) Comproveu el tercer i cinquè terme.

iii) El valor de l'desè terme.

respostes

i) La fórmula general de T _n és A ∙ n ² + B ∙ n + C. Llavors queda conèixer els valors de A, B i C.

La successió de les diferències té raó 2. A més per a qualsevol successió quadràtica la raó R és de 2 ∙ A segons es va demostrar en els apartats anteriors.

R = 2 ∙ A = 2 el que ens porta a concloure que A = 1.

El primer terme de la successió de diferències S _Dif és 2 i ha de complir A ∙ (2n + 1) + B, amb n = 1 i A = 1, és a dir:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B

buidant B s'obté: B = -1

Després el primer terme de S (n = 1) val 1, és a dir: 1 = A ∙ 1 ² + B ∙ 1 + C. Com ja sabem que A = 1 i B = -1, substituint ens queda:

1 = 1 ∙ 1 ² + (-1) ∙ 1 + C

Si aïllem C s'obté seu valor: C = 1.

En resum:

A = 1, B = -1 i C = 1

Llavors el terme n-èsim serà T _n = n ² - n + 1

ii) El tercer terme T ₃ = 3 ² - 3 + 1 = 7 i es verifica. El cinquè T ₅ = 5 ² - 5 + 1 = 21 que també es verifica.

iii) El desè terme serà T ₁₀ = 10 ² - 10 + 1 = 91.

exercici 3

Seqüència d'àrees per a l'Exercici 3. Font: elaboració pròpia.

La figura mostra una seqüència de cinc figures. El reticulat representa la unitat de longitud.

i) Determineu la successió per a l'àrea de les figures.

ii) Demostreu que es tracta d'una successió quadràtica.

iii) Trobeu l'àrea de la figura # 10 (no mostrada).

respostes

i) La successió S corresponent a l'àrea de la seqüència de figures és:

S = {0, 2, 6, 12, 20,….. }

ii) La successió corresponent a les diferències consecutives dels termes de S és:

S _dif = {2, 4, 6, 8,….. }

Com la diferències entre termes consecutius no és constant, llavors S no és una successió regular. Falta saber si és quadràtica, per la qual cosa novament fem la seqüència de les diferències, obtenint:

{2, 2, 2,…….}

Ja que tots els termes de la seqüència es repeteixen, es confirma que S és una successió quadràtica.

iii) La successió S _dif és regular i la seva raó R és 2. Utilitzant l'equació demostrada anteriorment R = 2 ∙ A, queda:

2 = 2 ∙ A, la qual cosa implica que A = 1.

El segon terme de la successió de diferències S _Dif és 4 i el terme n-èsim de S _Dif és

A ∙ (2n + 1) + B.

El segon terme té n = 2. A més ja es va determinar que A = 1, així que usant l'equació anterior i substituint es té:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B

Si aïllem B s'obté: B = -1.

Se sap que el segon terme de S val 2, i que ha de complir la fórmula de el terme general amb n = 2:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T ₂ = 2

és a dir

2 = 1 ∙ 2 ² - 1 ∙ 2 + C

Es conclou que C = 0, és a dir que la fórmula que dóna el terme general de la successió S és:

T _n = 1 ∙ n ² - 1 ∙ n + 0 = n ² - n

Ara es verifica el cinquè terme:

T ₅ = 5 ² - 5 = 20

iii) La figura # 10, que no s'ha dibuixat aquí, tindrà l'àrea corresponent a l'desè terme de la successió S:

T ₁₀ = 10 ² - 10 = 90

referències

1. https://www.geogebra.org