SISTEMA OCTAL: HISTÒRIA, SISTEMA DE NUMERACIÓ, CONVERSIONS - MATEMÀTIQUES - 2025

El sistema octal és un sistema de numeració posicional de base vuit (8); és a dir, que consta de vuit dígits, que són: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7. Per tant, cada dígit d'un nombre octal pot tenir qualsevol valor de 0 a 7. Els números octals són formats a partir dels nombres binaris.

Això és així perquè la seva base és una potència exacta de dues (2). És a dir, els números que pertanyen a el sistema octal es formen quan aquests són agrupats en tres dígits consecutius, ordenats de dreta a esquerra, obtenint d'aquesta forma el seu valor decimal.

història

El sistema octal té el seu origen en l'antiguitat, quan les persones usaven les seves mans per comptar de vuit en vuit els animals.

Per exemple, per comptar el nombre de vaques en un estable es començava a comptar amb la mà dreta, ajuntant el dit polze amb el dit petit; després per explicar el segon animal s'ajuntava el polze amb el dit índex, i així successivament amb els dits restants de cada mà, fins a completar 8.

Hi ha la possibilitat que en l'antiguitat es fes servir el sistema de numeració octal abans que el decimal per poder comptar els espais interdigitals; és a dir, comptar tots els dits a excepció dels polzes.

Posteriorment es va establir el sistema de numeració octal, que es va originar a partir d'sistema binari, perquè aquest necessita de molts dígits per representar només un nombre; a partir de llavors es van crear els sistemes octals i hexagonals, que no requereixen de tants dígits i que fàcilment poden convertir-se a el sistema binari.

Sistema de numeració octal

El sistema octal està format per vuit dígits que van de el 0 a l'7. Aquests tenen el mateix valor que en el cas de el sistema decimal, però el seu valor relatiu canvia depenent de la posició que aquests ocupen. El valor de cada posició és donat per les potències de base 8.

Les posicions dels dígits en un nombre octal tenen els següents pesos:

8 ⁴, 8 ³, 8 ², 8 ¹, 8 ⁰, punt octal, 8 ^-1, 8 ^-2, 8 ^-3, 8 ^-4, 8 ^-5.

El dígit octal més gran és 7; d'aquesta manera, quan es compta en aquest sistema es va augmentant una posició d'un dígit de 0 a 7. Quan s'arriba a 7 es recicla a 0 per al següent recompte; d'aquesta forma s'incrementa la següent posició de l'dígit. Per exemple, per explicar seqüències, en el sistema octal serà:

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10.
• 53, 54, 55, 56, 57, 60.
• 375, 376, 377, 400.

Hi ha un teorema fonamental que és aplicat a el sistema octal, i és expressat de la següent manera:

En aquesta expressió vaig representa el dígit multiplicat per la potència de base 8, que indica el valor posicional de cada dígit, de la mateixa forma en què s'ordena en el sistema decimal.

Per exemple, es té el nombre 543,2. Per fer-sistema octal es descompon de la següent manera:

N = Σ = (5 * 64) + (4 * 8) + (2 * 1) + (2 * 0,125)

N = 320 +32 + 2 + 0,25 = 354 + 0,25 _d

D'aquesta manera s'ha de 543,2 _q = 354,25 _d. El subíndex q indica que es tracta d'un nombre octal que també pot ser representat pel nombre 8; i el subíndex d fa referència a el nombre decimal, que també pot representar-se amb el número 10.

Conversió de el sistema octal a l'decimal

Per convertir un nombre de sistema octal al seu equivalent en el sistema decimal només s'ha de multiplicar cada dígit octal pel seu valor posicional, començant des de la dreta.

exemple 1

732 ₈ = (7 _* 8 ²) + (3 _* 8 ¹) + (2 _* 8 ⁰) = (7 _* 64) + (3 _* 8) + (2 _* 1)

732 ₈ = 448 +24 +2

732 ₈ = 474 ₁₀

exemple 2

26,9 ₈ = (2 _* 8 ¹) + (6 _* 8 ⁰) + (9 _* 8 ^-1) = (2 _* 8) + (6 _* 1) + (9 _* 0,125)

26,9 ₈ = 16 + 6 + 1,125

26,9 ₈ = 23,125 ₁₀

Conversió de el sistema decimal a l'octal

Un nombre enter decimal pot ser convertit en un nombre octal utilitzant el mètode de la divisió repetida, on el sencer decimal es divideix entre 8 fins que el quocient sigui igual a 0, i els residus de cada divisió van a representar el nombre octal.

Els residus són ordenats de l'últim a el primer; és a dir, que el primer residu serà el dígit menys significatiu de l'nombre octal. D'aquesta forma, el dígit més significatiu serà l'últim residu.

exemple

Octal de el nombre decimal 266 ₁₀

- Es divideix el nombre decimal 266 entre 8 = 266/8 = 33 + residu de 2.

- Després es divideix el 33 entre 8 = 33/8 = 4 + residu d'1.

- Es divideix 4 entre 8 = 4/8 = 0 + residu de 4.

Com amb l'última divisió s'obté un quocient menor a 1, vol dir que el resultat ha estat trobat; només s'han d'ordenar les restes de forma inversa, de manera que el nombre octal de l'decimal 266 és 412, com es pot observar en la següent imatge:

Conversió de el sistema octal a l'binari

La conversió de sistema octal a l'binari es porta a terme a l'convertir el dígit octal al seu dígit binari equivalent, format per tres dígits. Hi ha una taula que mostra com es converteixen els vuit possibles dígits:

A partir d'aquestes conversions es pot canviar qualsevol nombre de sistema octal a l'binari, com per exemple, per convertir el nombre 572 ₈ es busquen els seus equivalents a la taula. Així, s'ha de:

5 ₈ = 101

7 ₈ = 111

2 ₈ = 10

Per tant, 572 ₈ equival al sistema binari a 10.111.110.

Conversió de sistema binari a l'octal

El procés de conversió de nombres enters binaris a nombres sencers octals és l'operació inversa a el procés anterior.

És a dir, s'agrupen els bits de l'nombre binari en dos grups de tres bits, començant de dreta a esquerra. Després, es fa la conversió de binari a octal amb la taula anterior.

En alguns casos el nombre binari no tindrà grups de 3 bits; per completar-lo, s'agreguen un o dos zeros a l'esquerra del primer grup.

Per exemple, per canviar el nombre binari 11010110 a octal es realitza el següent:

- Es formen grups de 3 bits començant per la dreta (últim bit):

11010110

- Com el primer grup està incomplet, s'agrega un zero a l'esquerra:

011010110

- Es fa la conversió a partir de la taula:

011 = 3

010 = 2

110 = 6

D'aquesta manera, el nombre binari 011010110 equival a 326 ₈.

Conversió de el sistema octal a l'hexadecimal i viceversa

Per fer el canvi d'un nombre octal a sistema hexadecimal o d'hexadecimal a octal, cal que primer es converteixi el nombre en binari, i després a el sistema que es desitgi.

Per això hi ha una taula on es representa cada dígit hexadecimal amb la seva equivalència en el sistema binari, compost per quatre dígits.

En alguns casos, el nombre binari no tindrà grups de 4 bits; per completar-lo, s'agreguen un o dos zeros a l'esquerra el primer grup

exemple

Convertir el nombre octal 1646 en un nombre hexadecimal:

- Es converteix el nombre de octal a binari

1 ₈ = 1

6 ₈ = 110

4 ₈ = 100

6 ₈ = 110

- Així, 1646 ₈ = 1110100110.

- Per convertir de binari a hexadecimal primer s'ordenen en grup de 4 bits, començant de dreta cap a esquerra:

11 1010 0110

- Es completa amb zeros el primer grup, perquè aquest pugui tenir 4 bits:

0011 1010 0110

- Es fa la conversió de sistema binari a l'hexadecimal. Es substitueixen les equivalències per mitjà de la taula:

0011 = 3

1010 = A

0110 = 6

D'aquesta manera, el nombre octal 1646 equival a 3A6 en el sistema hexadecimal.

referències

1. Bressan, AE (1995). Introducció als sistemes de numeració. Universitat Argentina de l'Empresa.
2. Harris, JN (1957). Introduction to the Binary and Octal Numbering Systems: Lexington, Mass. Armed Services Technical Information Agency.
3. Kumar, AA (2016). Fundamentals of Digital Circuits. Learning Pvt.
4. Peris, XC (2009). Sistemes Operatius Monopuesto.
5. Ronald J. Tocci, NS (2003). Sistemes digitals: principis i aplicacions. Pearson Educació.