SIMETRIA CENTRAL: PROPIETATS, EXEMPLES I EXERCICIS - MATEMÀTIQUES - 2026

Dos punts A i A 'tenen simetria central respecte d'un punt O quan el segment AA' passa per ell ia més és el punt mitjà d'AA '. A el punt O se l'anomena centre de simetria.

El simètric central d'un triangle ABC respecte d'un punt O, és un altre triangle A'B'C 'que té les següents característiques:

-Els segments homòlegs són de la mateixa longitud

-Els seus angles corresponents tenen la mateixa mida.

Figura 1. Triangle ABC i el seu simètric A'B'C '. Font: F. Zapata.

A la figura 1 es pot veure un triangle ABC (de color vermell) i el seu simètric central A'B'C '(de color verd), respecte a el centre de simetria O.

En aquesta mateixa figura, un observador atent s'adonaria que s'obté el mateix resultat aplicant una rotació de el triangle original, sempre que sigui de 180 º i estigui centrada en O.

Per tant, una simetria central és equivalent a un gir de 180º respecte a el centre de simetria.

Propietats de la simetria central

Una simetria central té les següents propietats:

-El centre de simetria és el punt mitjà de l'segment que uneix un punt amb el seu simètric.

-Un punt simètric d'un altre que estigui ubicat en el centre de simetria, coincideix amb el centre de simetria.

-El simètric central d'un triangle és un triangle congruent (igual) a l'original.

-La imatge per simetria central d'una circumferència és una altra circumferència d'igual ràdio.

-Una circumferència té simetria central respecte al seu propi centre.

Figura 2. Disseny amb simetria central. Font: Pixabay.

-La el·lipse té simetria central respecte al seu centre.

-Un segment posseeix simetria central respecte del seu punt mitjà.

-El triangle equilàter no té simetria central respecte del seu centre, perquè el seu simètric, encara que congruent a el primer, dóna un triangle equilàter girat.

-Els quadrats tenen simetria central respecte del seu centre.

-Un pentàgon no té simetria central respecte del seu centre.

-Polígonos regulars tenen simetria central quan tenen nombre de costats parell.

exemples

Els criteris de simetria tenen moltes aplicacions en ciències i enginyeria. La simetria central està present en la naturalesa, per exemple cristalls de gel i teranyines tenen aquesta classe de simetria.

A més, molts problemes es resolen fàcilment quan s'aprofita l'existència de la simetria central i altres classes de simetria. Per això és convenient identificar ràpidament quan es presenta.

Figura 3. Els cristalls de gel tenen simetria central. Font: Pixabay.

exemple 1

Donat un punt P de coordenades (a, b), cal trobar les coordenades del seu simètric P'respecte de l'origen O de coordenades (0, 0).

El primer és construir el punt P ', per a això es traça una recta que passi per l'origen O i pel punt P. L'equació d'aquesta recta és y = (b / a) x.

Ara cridem (a ', b') les coordenades del punt simètric P '. El punt P 'ha d'estar sobre la recta que passa per O i per tant es compleix: b' = (b / a) a '. A més la distància OP ha de ser igual a OP ', el que en forma analítica s'escriu així:

√ (a ² + b ²) = √ (a ' ² + b' ²)

El següent és substituir b '= en l'expressió anterior i elevar a l'quadrat a banda i banda de la igualtat per eliminar l'arrel quadrada: (a ² + b ²) =

A l'extreure factor comú i simplificar, s'arriba al fet que a ' ² = a ². Aquesta equació té dues solucions reals: a '= + ao bé a' = -a.

Per obtenir b ', fem servir novament b' = (b / a) a '. Si se substitueix la solució positiva de a 's'arriba a que b' = b. I quan se substitueix la solució negativa, llavors b '= b.

La solució positiva dóna per P 'el mateix punt P, de manera que queda descartada. La solució negativa ofereix definitivament les coordenades del punt simètric:

P ': (-a, -b)

exemple 2

Es requereix demostrar que un segment AB i el seu simètric central A'B 'tenen la mateixa longitud.

Començant amb les coordenades del punt A, que són (Ax, Ay) i les de el punt B: (Bx, By), la longitud d'el segment AB ve donada per:

d (AB) = √ ((Bx - Ax) ² + (By - Ai) ²)

Per analogia, el segment simètric A'B 'tindrà longitud donada per:

d (A'B ') = √ ((Bx' - Ax ') ² + (By' - Ai ') ²)

Les coordenades del punt simètric A 'són Ax' = -ax i Ai '= -Ai. Similarment les de B 'són Bx' = -Bx i By '= -by. Si aquestes coordenades es substitueixen en l'equació de la distància d (A'B ') es té:

d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax) ² + (-by + Ai) ²) que és equivalent a:

√ ((Bx - Ax) ² + (By - Ai) ²) = d (AB)

Quedant demostrat així que tots dos segments tenen la mateixa longitud.

exercicis resolts

- Exercici 1

Demostri en forma analítica que el simètric central O d'una circumferència de radi R i centre O, és la mateixa circumferència original.

solució

L'equació d'una circumferència de radi R i centre O (0,0) és:

x ² + i ² = R ² (Equació de la circumferència C)

Si a cada punt P de la circumferència i de coordenades (x, y) se li troba el seu simètric P 'de coordenades (x', y '), l'equació de la circumferència simètrica és:

x ' ² + i' ² = R ² (Equació de la circumferència simètrica C ')

Ara ens remetem a l'resultat de l'exemple 1, en el qual es conclou que les coordenades d'un punt P ', simètric a P i de coordenades (a, b), és (-a, -b).

Però en aquest exercici, el punt P té coordenades (x, y), pel que la seva simètric P 'tindrà coordenades x' = -xe i '= -i. Substituint això en l'equació de la circumferència simètrica es té:

(-x) ² + (-i) ² = R ²

La qual cosa és equivalent a: x ² + i ² = R ², concloent que el simètric central d'una circumferència respecte al seu centre és la pròpia circumferència.

- Exercici 2

Demostrar en forma geomètrica que la simetria central preserva els angles.

solució

Figura 4. Construcció dels punts simètrics per a l'exercici 2. Font: F. Zapata.

Es tenen tres punts A, B i C sobre el pla. Es construeixen els seus simètrics A ', B' i C 'pel que fa a centre de simetria O, tal com es mostra a la figura 4.

Ara cal demostrar que l'angle ∡ABC = β té la mateixa mesura que l'angle ∡A'B'C '= β'.

Com C i C 'són simètrics, llavors OC = OC'. Similarment OB = OB 'i OA = OA'. D'altra banda, l'angle ∡BOC = ∡B'OC 'per ser oposats pel vèrtex.

Després els triangles BOC i B'OC 'són congruents per tenir un angle igual entre dos costats iguals.

A causa de que BOC és congruent a B'OC 'llavors els angles γ i γ' són iguals. Però aquests angles, a més de complir γ = γ 'són alterns interns entre les rectes BC i B'C' el que implica que la recta BC és paral·lela a B'C '.

Similarment BOA és congruent a B'OA 'del que se segueix que α = α'. Però α i α 'són angles alterns interns entre les rectes BA i B'A', del que es conclou que la recta BA és paral·lela a B'A '.

Com l'angle ∡ABC = β té els seus costats paral·lels amb l'angle ∡A'B'C '= β' ia més tots dos són aguts es conclou que:

∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'

Demostrant-d'aquesta manera, que la simetria central conserva la mesura dels angles.

referències

1. Baldor, JA 1973.Geometría plana i de l'espai. Cultural Centroamericana.
2. Lleis i fórmules matemàtiques. Sistemes de mesura d'angles. Recuperat de: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Plane Geometry. Recuperat de: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Simetria central. Recuperat de: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Transportador. Recuperat de: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Angles conjugats interns i externs. Recuperat de: lifeder.com