SIMETRIA AXIAL: PROPIETATS, EXEMPLES I EXERCICIS - MATEMÀTIQUES - 2025

La simetria axial es dóna quan els punts d'una figura coincideixen amb els punts d'una altra figura mitjançant una mediatriu recta anomenada eix de simetria. També és denominada simetria radial, rotacional o cilíndrica.

Sol aplicar-se en figures geomètriques, però és fàcilment observable en la naturalesa, ja que hi ha animals com papallones, escorpins, marietes o pròpiament els humans que presenten simetria axial.

En aquesta foto de l'horitzó de la ciutat de Toronto i el seu reflex en l'aigua s'exhibeix simetria axial. (Font: pixabay)

Com trobar el simètric axial

Per trobar el simètric axial P 'd'un punt P respecte d'una recta (L) es realitzen les següents operacions geomètriques:

1.- Es traça la perpendicular a la recta (L) que passa pel punt P.

2.- La intercepció de les dues rectes determina un punt O.

3.- Es mesura la longitud de l'segment PO, després es copia aquesta longitud sobre la recta (PO) partint d'O en la direcció de P a O determinant el punt P '.

4.- El punt P 'és el simètric axial del punt P respecte de l'eix (L), ja que la recta (L) és mediatriu d'el segment PP' sent O el punt mig d'aquest segment.

Figura 1. Dos punts P i P 'són axialment simètrics a un eix (L) si aquest eix és mediatriu d'el segment PP'

Propietats de la simetria axial

- La simetria axial és isomètrica, és a dir, que es conserven les distàncies d'una figura geomètrica i el seu corresponent simètrica.

- La mesura d'un angle i la del seu simètric són iguals.

- El simètric axial d'un punt sobre l'eix de simetria és el propi punt.

- La recta simètrica d'una recta paral·lela a l'eix de simetria és també una recta paral·lela a aquest eix.

- Una recta secant a l'eix de simetria té com a recta simètrica altra recta secant que, al seu torn, interseca a l'eix de simetria en el mateix punt de la recta original.

- La imatge simètrica d'una recta és una altra recta que forma un angle amb l'eix de simetria de la mateixa mida que el de la recta original.

- La imatge simètrica d'una recta perpendicular a l'eix de simetria és una altra recta que es superposa a la primera.

- Una recta i la recta simètrica axial formen un angle la bisectriu és l'eix de simetria.

Figura 2. La simetria axial preserva les distàncies i els angles.

Exemples de simetria axial

La naturalesa exhibeix abundants exemples de simetria axial. Per exemple es pot observar la simetria de les cares, dels insectes com les papallones, el reflex sobre superfícies d'aigües tranquil·les i miralls o les fulles de les plantes, entre molts altres.

Figura 3. Aquesta papallona exhibeix simetria axial gairebé perfecta. (Font: pixabay)

Figura 4. La cara d'aquesta noia té simetria axial. (Font: pixabay)

Exercicis de simetria axial

exercici 1

Es té el triangle de vèrtexs A, B i C les coordenades cartesianes són respectivament A = (2, 5), B = (1, 1) i C = (3,3). Trobar les coordenades cartesianes de el triangle simètric respecte a l'eix I (eix de les ordenades).

Solució: Si un punt P té coordenades (x, y) llavors la seva simètric respecte de l'eix de les ordenades (eix I) és P '= (- x, i). És a dir que el valor del seu abscissa canvia de signe, mentre que el valor de l'ordenada roman igual.

En aquest cas, el triangle simètric de vèrtexs A ', B' i C 'tindrà coordenades:

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) i C' = (- 3, 3) com es pot comprovar a la figura 6.

Figura 6. Si un punt té coordenades (x, y) el seu simètric respecte de l'eix I (eix de les ordenades) tindrà coordenades (-x, i).

exercici 2

Pel que fa a el triangle ABC i el seu simètric A'B'C 'de l'exercici 1, comprovar que els costats corresponents de el triangle original i el seu simètric tenen la mateixa longitud.

Solució: Per trobar la distància o longitud dels costats fem servir la fórmula de la distància euclidiana:

d (A, B) = √ ((Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ai) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4,123

A continuació es calcula la longitud de la banda simètric corresponent A'B ':

d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (By'-Ai') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4,123

D'aquesta manera, es comprova que la simetria axial preserva la distància entre dos punts. Es pot repetir el procediment per als altres dos costats de el triangle i el seu simètric per comprovar la invariància en la longitud. Per exemple -AC- = -A'C'- = √5 = 2,236.

exercici 3

En relació a el triangle ABC i el seu simètric A'B'C 'de l'exercici 1, comproveu que els angles corresponents de el triangle original i el seu simètric tenen la mateixa mesura angular.

Solució: Per determinar les mesures dels angles BAC i B'A'C 'es calcularà en primer lloc el producte escalar dels vectors AB amb AC i després el producte escalar de A'B' amb A'C '.

Recordant que:

A = (2, 5), B = (1, 1) i C = (3,3)

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) i C' = (- 3, 3).

Es té:

AB = <1-2, 1-5> i AC = <3-2, 3-5>

similarment

A'B ' = <-1 + 2, 1-5> i AC = <-3 + 2, 3-5>

Després es troben els següents productes escalars:

AB⋅AC = <-1, -4> ⋅ <1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Similarment

A'B'⋅A'C ' = <1, -4> ⋅ <-1, -2> = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

La mesura de l'angle BAC és:

∡BAC = arccos (AB⋅AC / (- AB- ⋅- AC-)) =

Arccos (7 / (4,123⋅2,236)) = 40,6º

Similarment, la mesura de l'angle B'A'C 'és:

∡B'A'C '= arccos (A'B'⋅A'C' / (- A'B'- ⋅- A'C'-)) =

Arccos (7 / (4,123⋅2,236)) = 40,6º

Concloent que la simetria axial preserva la mesura dels angles.

exercici 4

Sigui un punt P de coordenades (a, b). Trobar les coordenades del seu simètric axial P 'respecte de la recta y = x.

Solució: Anomenarem (a ', b') a les coordenades del punt simètric P 'respecte de la recta y = x. El punt mitjà M de l'segment PP 'té coordenades ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) ia més està sobre la recta y = x, de manera que es compleix la següent igualtat:

a + a '= b + b'

D'altra banda, el segment PP 'té pendent -1 per ser perpendicular a la recta y = x de pendent 1, de manera que es compleix la següent igualtat:

b - b '= a' -a

Si aïllem de les dues igualtats anteriors a 'i b' es conclou que:

a '= by que b' = a.

És a dir, donat un punt P (a, b), el seu simètric axial respecte de la recta y = x és P '(b, a).

referències

1. Arce M., Blázquez S i altres. Transformacions de el pla. Recuperat de: educutmxli.files.wordpress.com
2. Càlcul cc. Simetria axial. Recuperat de: calculo.cc
3. Superprof. Simetria axial. Recuperat de: superprof.es
4. wikipedia. Simetria axial. Recuperat de: es.wikipedia.com
5. wikipedia. Circular Symmetry. Recuperat de: en.wikipedia.com