Els tipus d'integrals que ens trobem en el càlcul són les integrals indefinides i les integrals definides. Tot i que les integrals definides tenen moltes més aplicacions que les integrals indefinides, cal primer aprendre a resoldre integrals indefinides.
Una de les aplicacions més atractives de les integrals definides és el càlcul de l'volum d'un sòlid de revolució. Tots dos tipus d'integrals tenen les mateixes propietats de linealitat i més les tècniques d'integració no depenen de el tipus d'integral.
Sòlid de Revolució
Però tot i ser molt semblants, hi ha una diferència principal; en el primer tipus d'integral el resultat és una funció (la qual no és específica) mentre que en el segon tipus el resultat és un nombre.
Tipus bàsics d'integrals
El món de les integrals és molt ampli però dins d'aquest podem distingir dos tipus bàsics d'integrals, les quals tenen una gran aplicabilitat en la vida quotidiana.
1- Integrals indefinides
Si F '(x) = f (x) per a tot x en el domini de f, diem que F (x) és una antiderivada, una primitiva o un integral de f (x).
D'altra banda, observem que (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), la qual cosa implica que la integral d'una funció no és única, ja que donant diferents valors de la constant C obtindrem diferents antiderivades.
És per això que F (x) + C és cridada la Integral Indefinida de f (x) i C és anomenada constant d'integració i ho escrivim de la següent manera
integral Indefinida
Com podem veure, la integral indefinida de la funció f (x) és una família de funcions.
Per exemple, si es vol calcular la integral indefinida de la funció f (x) = 3x², primer s'ha de trobar una antiderivada de f (x).
És fàcil notar que F (x) = x ³ és una antiderivada, ja que F '(x) = 3x². Per tant, es pot concloure que
∫f (x) dx = ∫3x²dx = x ³ + C.
2- Integrals definides
Sigui y = f (x) una funció real, contínua en un interval tancat i sigui F (x) una antiderivada de f (x). Es diu integral definida de f (x) entre els límits i b a el nombre F (b) -F (a), i es denota com segueix
Teorema Fonamental de l'Càlcul
La fórmula mostrada a dalt és millor coneguda com «El Teorema Fonamental de l'Càlcul». Aquí «a» és anomenat límit inferior i «b» és anomenat límit superior. Com es pot veure, la integral definida d'una funció és un nombre.
En aquest cas, si es calcula la integral definida de f (x) = 3x² en l'interval, s'obtindrà un nombre.
Per determinar aquest nombre escollim F (x) = x ³ com antiderivada de f (x) = 3x². Després, calculem F (3) -F (0) la qual cosa ens dóna com a resultat 27-0 = 27. En conclusió, la integral definida de f (x) en l'interval és 27.
Es pot destacar que si s'escull G (x) = x ³ + 3, llavors G (x) és una antiderivada de f (x) diferent a F (x), però això no afecta el resultat doncs G (3) -G (0) = (27 + 3) - (3) = 27. Per aquesta raó, en les integrals definides no apareix la constant d'integració.
Una de les aplicacions més útils que posseeix aquest tipus d'integral és que permet calcular l'àrea (volum) d'una figura plana (d'un sòlid de revolució), establint funcions i límits d'integració adequats (i un eix de gir).
Dins de les integrals definides podem trobar diverses extensions d'aquesta com per exemple integrals de línia, integrals de superfície, integrals impròpies, integrals múltiples, entre d'altres, totes amb aplicacions molt útils en les ciències i enginyeria.
referències
- Casteleiro, JM (2012). És fàcil integrar? Manual autodidàctic. Madrid: ESIC.
- Casteleiro, JM, & Gómez-Álvarez, RP (2002). Càlcul integral (Illustrated ed.). Madrid: ESIC Editorial.
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus mathematics: a problem-solving approach (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
- Kishan, H. (2005). Integral Calculus. Atlantic Publishers & Distributors.
- Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, ES (2007). Càlcul (Novena ed.). Prentice Hall.