- Consideracions per trobar el centre de gravetat
- Com es calcula el centre de gravetat?
- propietats
- -Encontrando el centre de gravetat d'un cos en equilibri estàtic
- -exemple resolt
- solució
- Diferència amb el centre de massa
- Exemples de centre de gravetat
- Centre de gravetat d'objectes irregulars
- Equilibri d'objectes
- referències
El centre de gravetat d'un cos de mida mesurable és el punt on es considera que està aplicat el seu pes. Es tracta per tant d'un dels conceptes primordials de la Estàtica.
El primer acostament als problemes de Física elemental consisteix a suposar que qualsevol objecte es comporta com una massa puntual, és a dir, no té dimensions i tota la massa es concentra en un sol punt. Això és vàlid per a una caixa, un automòbil, un planeta o una partícula subatòmica. A aquest model se li coneix com a model de partícula.
Figura 1. En el salt d'alçada l'atleta se les arregla per que el seu centre de gravetat quedi fora de el cos. Font: Pixabay
Naturalment això es tracta d'una aproximació, que dóna molt bons resultats per a moltes aplicacions. No és tasca fàcil considerar el comportament individual dels milers i milions de partícules que un objecte qualsevol vaig poder contenir.
No obstant això les dimensions reals de les coses s'han de tenir en compte si es volen obtenir resultats que s'acostin més a la realitat. Ja que en general ens trobem en els voltants de la Terra, la força sempre present sobre qualsevol cos és precisament el pes.
Consideracions per trobar el centre de gravetat
Si es va a prendre en compte la mida de el cos, en quin lloc d'aquest específicament es va a aplicar el pes? Quan es té un objecte continu de forma arbitrària, el seu pes és una força distribuïda entre cadascuna de les seves partícules constituents.
Siguin aquestes partícules m 1, m 2, m 3… Cadascuna d'elles experimenta la seva corresponent força gravitatòria m 1 g, m 2 g, m 3 g…, totes elles paral·leles. Això és així, ja que el camp gravitatori de la Terra es considera constant en la immensa majoria dels casos, en vista que els objectes són petits en comparació a la mida de l'planeta i estan a prop de la seva superfície.
Figura 2. El pes de l'objecte és una massa distribuïda. Font: elaboració pròpia.
La suma vectorial d'aquestes forces dóna com a resultat el pes de l'objecte, aplicat a punt anomenat centre de gravetat denotat a la figura com CG, el qual coincideix llavors amb el centre de masses. El centre de masses al seu torn és el punt on podria considerar concentrada tota la massa.
El pes resultant té magnitud Mg on M és la massa total de l'objecte, i per descomptat està dirigit verticalment cap al centre de la Terra. La notació de sumatori és útil per expressar la massa total de el cos:
El centre de gravetat no sempre coincideix amb un punt material. Per exemple el CG d'un cèrcol està en el seu centre geomètric, on no hi ha massa pròpiament dita. Tot i així, si es volen analitzar les forces que actuen sobre un cèrcol, cal aplicar el pes a aquest punt precís.
En els que casos en què l'objecte té forma arbitrària, si és homogeni encara pot calcular el seu centre de masses trobant el centroide o baricentre de la figura.
Com es calcula el centre de gravetat?
En principi si el centre de gravetat (CG) i el centre de masses (cm) coincideixen a l'ésser uniforme el camp gravitatori, llavors es pot calcular el cm i sobre ell aplicar el pes.
Considerem dos casos: el primer és un en el qual la distribució de masses és discreta; és a dir, es pot comptar cada massa que conforma el sistema i assignar-li un número I, tal com es va fer en l'exemple anterior.
Les coordenades de centre de massa per a una distribució discreta de masses són:
Naturalment el sumatori de totes les masses equival a la massa total de sistema M, tal com es va indicar més amunt.
Les tres equacions es redueixen a una forma compacta a l'considerar el vector r cm o vector de posició de centre de masses:
I en cas d'una distribució contínua de masses, on les partícules siguin de mida diferencial i no se les pugui distingir per explicar-les, la sumatòria és reemplaçada per una integral que es fa sobre el volum que ocupa l'objecte en qüestió:
On r és el vector de posició d'una massa diferencial dm i s'ha fet ús de la definició de densitat de massa per expressar el diferencial de massa dm continguda en un diferencial de volum dV:
propietats
Algunes consideracions importants sobre el centre de masses són les següents:
- Si bé es requereix un sistema de referències per establir les posicions, el centre de massa no depèn l'elecció que es faci de el sistema, ja que és una propietat de l'objecte.
- Quan l'objecte té un eix o un pla de simetria, el centre de masses es troba sobre aquest eix o pla. Aprofitar aquesta circumstància estalvia temps de càlcul.
- Totes les forces externes que actuen sobre l'objecte poden aplicar-se a el centre de masses. Seguir la pista d'el moviment d'aquest punt dóna una idea global de el moviment de l'objecte i facilita la feina d'estudiar el seu comportament.
-Encontrando el centre de gravetat d'un cos en equilibri estàtic
Suposem que es desitja fer que el cos de la figura anterior es trobi en equilibri estàtic, és a dir, no es traslladi ni tampoc rote respecte a un eix de rotació arbitrari que pot ser O.
Figura 3. Esquema per calcular el moment de torsió de l'pes respecte a el punt O.
-exemple resolt
Una barra prima de material uniforme té una longitud de 6 mi pesa 30 N. En el seu extrem esquerre es penja un pes de 50 N i una altra de 20 N en el seu extrem dret. Trobi: a) La magnitud de la força ascendent necessària mantenir l'equilibri de la barra, b) El centre de gravetat del conjunt.
solució
El diagrama de forces es mostra a la següent figura. El pes de la barra s'aplica en el seu centre de gravetat, que coincideix amb el seu centre geomètric. L'única dimensió de la barra presa en compte és la seva longitud, ja que l'enunciat informa que és prima.
Figura 4. Diagrama de forces pàra la barra.
Perquè el sistema de barra + peses es mantingui en equilibri de translació, el sumatori de les forces ha de ser nul·la. Les forces són verticals, si considerem cap amunt amb signe + i cap avall amb signe - llavors:
F- 50 - 20 - 30 N = 0
F = 100 N
Aquesta força garanteix l'equilibri de translació. Prenent els moments de torsió de totes les forces respecte a un eix que passa per l'extrem esquerre de sistema i aplicant la definició:
t = rx F
Els moments de totes aquestes forces respecte a punt seleccionat són perpendiculars a el pla de la barra:
Per tant:
El centre de gravetat del conjunt barra + peses és a 2.10 metres de l'extrem esquerre de la barra.
Diferència amb el centre de massa
El centre de gravetat coincideix amb el centre de masses, tal com s'ha indicat, per tal que el camp gravitatori terrestre sigui constant per a tots els punts de l'objecte a considerar. El camp gravitatori de la Terra no és altra cosa que el conegut i familiar valor de g = 9.8 m / s 2 dirigit verticalment cap avall.
Tot i que el valor de g experimenta variacions amb la latitud i l'altitud, usualment aquestes no afecten els objectes sobre els quals es tracta la major part de les vegades. Molt diferent seria si es considera un cos de grans dimensions en les rodalies de la Terra, per exemple un asteroide que s'acostés molt a el planeta.
L'asteroide té un centre de masses propi, però el seu centre de gravetat ja no tindria per què coincidir amb aquest, ja que g probablement experimentaria variacions substancials en magnitud, donat la mida de l'asteroide i que els pesos de cada partícula podrien no ser paral·lels.
Una altra diferència fonamental és que el centre de massa es troba independentment de si hi ha o no una força anomenada pes aplicada sobre l'objecte. És una propietat intrínseca de l'objecte que ens revela com la seva massa està distribuïda en relació a la seva geometria.
El centre de masses existeix tant si hi ha pes aplicat com si no. I se situa en la mateixa posició encara que l'objecte es traslladi a un altre planeta en el qual el camp gravitatori sigui diferent.
En canvi el centre de gravetat està clarament vinculat a l'aplicació de l'pes, tal com hem pogut apreciar al llarg dels paràgrafs anteriors.
Exemples de centre de gravetat
Centre de gravetat d'objectes irregulars
És molt senzill esbrinar on és el centre de gravetat d'un objecte irregular com una tassa. Primer es la suspèn des d'un punt qualsevol i des d'allà es traça una línia vertical (a la figura 5 és la línia fúcsia a la imatge esquerra).
Seguidament es la suspèn des d'un altre punt i es traça una nova vertical (línia turquesa a la imatge dreta). La intersecció de les dues línies és el centre de gravetat de la tassa.
Figura 5. Ubicació de l'CG d'una tassa. Font: modificat de Pixabay.
Equilibri d'objectes
Analitzem l'estabilitat d'un camió que circula per la carretera. Quan el centre de gravetat es troba per sobre de la base de l'camió, aquest no bolcarà. La imatge de l'esquerra és la posició més estable.
Figura 6. Equilibri de l'camió. Font: elaboració pròpia.
Tot i que el camió s'inclini cap a la dreta podrà tornar a la posició d'equilibri estable, com en el dibuix de l'mig, ja que la vertical encara passa per la base. No obstant això quan aquesta línia passa per fora el camió es bolcarà.
El diagrama mostra les forces en el punt de suport: la normal en groc, el pes en verd i el frec estàtic cap a l'esquerra en fúcsia. La normal i el frec estan aplicades sobre l'eix de gir, de manera que no exerceixen moment de torsió. Per tant no contribuiran a bolcar el camió.
Queda el pes, que sí que exerceix un moment de torsió, per sort en sentit antihorari i que tendeix a tornar a l'camió a la seva posició d'equilibri. Cal notar que la línia de la vertical passa per la superfície de suport, que és el pneumàtic.
Quan el camió es troba en la posició de l'extrema dreta, el moment de torsió de l'pes canvia i passa a ser en sentit horari. A el no poder ser contrarestat per un altre moment, el camió bolcarà.
referències
- Bauer, W. 2011. Física per Enginyeria i Ciències. Volum 1. Mc Graw Hill. 247-253.
- Giancoli, D. 2006. Physics: Principles with Applications. 6th.. Ed Prentice Hall. 229-238.
- Resnick, R. (1999). Física. Vol. 1. 3ra Ed. En espanyol. Companyia Editorial Continental SA de CV 331-341.
- Rex, A. 2011. Fonaments de Física. Pearson.146-155.
- Sears, Zemansky. 2016. University Physics with Modern Physics. 14th. Ed. Volume 1340-346.