BASE ORTONORMAL: PROPIETATS, EXEMPLES I EXERCICIS - FÍSICA - 2025

Una base ortonormal es forma amb vectors perpendiculars entre si i el mòdul més val 1 (vectors unitaris). Recordem que una base B en un espai vectorial V, es defineix com un conjunt de vectors linealment independents capaços de generar aquest espai.

Al seu torn un espai vectorial és una entitat matemàtica abstracta entre els elements estan els vectors, generalment associats a magnituds físiques com la velocitat, la força i el desplaçament o també a matrius, polinomis i funcions.

Figura 1. Base ortonormal en el pla. Font: Wikimedia Commons. Quartl.

Els vectors tenen tres elements distintius: magnitud o mòdul, direcció i sentit. Una base ortonormal és especialment útil per a representar-los i operar amb ells, ja que qualsevol vector que pertanyi a cert espai vectorial V, es pot escriure com una combinació lineal dels vectors que formen la base ortonormal.

D'aquesta manera s'executen analíticament les operacions entre vectors, com ara suma, resta i els diferents tipus de productes definits en aquest espai.

Entre les bases més utilitzades de la física hi ha la base formada pels vectors unitaris i, j i k que representen les tres direccions distintives de l'espai tridimensional: alt, ample i profunditat. Aquests vectors també es coneixen amb el nom de vectors canònics unitaris.

Si en canvi es treballen els vectors en un pla, n'hi hauria prou amb dues d'aquestes tres components, mentre que per als vectors unidimensionals es requereix només un.

Propietats de les bases

1- Una base B és el conjunt més petit possible de vectors que generen l'espai vectorial V.

2- Els elements de B són linealment independents.

3- Qualsevol base B d'un espai vectorial V, permet expressar tots els vectors de V com a combinació lineal d'ella i aquesta forma és única per a cada vector. Per això a B se la coneix també com a sistema generador.

4- Un mateix espai vectorial V pot tenir diferents bases.

Exemples de bases

A continuació diversos exemples de bases ortonormals i bases en general:

La base canònica en ℜ

També anomenada base natural o base estàndard de ℜ ⁿ, on ℜ ⁿ és l'espai n-dimensional, per exemple l'espai tridimensional és ℜ ³. A el valor de n se li denomina dimensió de l'espai vectorial i es denota com dim (V).

Tots els vectors que pertanyen a ℜ ⁿ es representen mitjançant n-ades ordenades. Per a l'espai ℜ ⁿ, la base canònica és:

i ₁ = <1,0,…, 0>; i ₂ = <0,1,…, 0>;…….. i _n = <0,0,…, 1>

En aquest exemple hem utilitzat la notació amb claudàtors o "brackets" i negretes per als vectors unitaris i ₁, i ₂, i ₃…

La base canònica en ℜ

Els familiars vectors i, j i k admeten aquesta mateixa representació i n'hi ha prou amb ells tres per representar els vectors en ℜ ³:

i = <1,0,0>; j = <0,1,0>; k = <0,0,1>

Vol dir que la base es pot expressar així:

B = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}

Per verificar que són linealment independents, el determinant format amb ells vectors és no nul ia més igual a 1:

També ha de ser possible escriure qualsevol vector que pertanyi a ℜ ³ com a combinació lineal d'ells. Per exemple, una força les components rectangulars són F _x = 4 N, F _i = -7 N i F _z = 0 N quedaria escrita en forma vectorial així:

F = <4, -7,0> N = 4 i -7 j + 0 k N.

Per tant i, j i k conformen un sistema generador de ℜ ³.

Altres bases ortonormals en ℜ

La base estàndard descrita a l'apartat anterior no és l'única base ortonormal en ℜ ³. Aquí tenim per exemple les bases:

B ₁ = {; <- sin θ, cos θ, 0>; <0,0,1>}

B ₂ = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5,0>; <0,0,1>}

Es pot demostrar que aquestes bases són ortonormals, per a això recordem les condicions que ha de complir:

-Els vectors que formen la base han de ser ortogonals entre si.

-Cada un d'ells ha de ser unitari.

Podem verificar-sabent que el determinant format per ells ha de ser no nul i igual a 1.

La base B ₁ és precisament la de coordenades cilíndriques ρ, φ z, una altra manera d'expressar vectors en l'espai.

Figura 2. Coordenades cilíndriques. Font: Wikimedia Commons. Math buff.

exercicis resolts

- Exercici 1

Demostrar que la base B = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5,0>; <0,0,1>} és ortonormal.

solució

Per demostrar que els vectors són perpendiculars entre si, utilitzarem el producte escalar, també anomenat intern o producte punt de dos vectors.

Siguin dos vectors qualssevol o i v, el seu producte escalar està definit mitjançant:

o • v = uv cosθ

Per distingir els vectors dels seus mòduls utilitzarem negretes per als primers i lletres normals per als segons. θ és l'angle entre o i v, per tant si són perpendiculars, vol dir que θ = 90º i el producte escalar és nul.

Alternativament, si els vectors estan donats en termes dels seus components: o =x, o _i, o _z > i v =x, v _i, v _z >, el producte escalar d'ambdós, que és commutatiu, es calcula d'aquesta manera:

o • v = o _x.v _x + o _i.v _i + o _z.v _z

D'aquesta manera, els productes escalars entre cada parell de vectors són, respectivament:

i) <3/5, 4 / 5,0> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3 / 5) + 0.0 = (-12 / 25) + (12/25) = 0

ii) <3/5, 4 / 5,0> • <0, 0,1> = 0

iii) <- 4/5, 3 / 5,0> • <0, 0,1> = 0

Per a la segona condició es calcula el mòdul de cada vector, el qual s'obté mitjançant:

│u │ = √ (o _x ² + o _i ² + o _z ²)

Així, els mòduls de cada vector són:

│ <3/5, 4 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <-4/5, 3 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <0, 0,1> │ = √ = 1

Per tant els tres són vectors unitaris. Finalment, el determinant que formen és no nul i igual a 1:

- Exercici 2

Escriure les coordenades de el vector w = <2, 3,1> en termes de la base anterior.

solució

Per fer-ho es fa servir el següent teorema:

w = < w • v ₁ > v ₁ + < w • v ₂ > v ₂ + < w • v ₃ > v ₃ +… < w • v _n > v _n

Això vol dir que podem escriure el vector en la base B, mitjançant els coeficients < w • v ₁ >, < w • v ₂ >,… < w • v _n >, per a això cal calcular els productes escalars indicats:

<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1.0 = (6/5) + (12 / 5) = 18/05

<2, 3,1> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1.0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5

<2, 3,1> • <0,0,1> = 1

Amb els productes escalars obtinguts es construeix una matriu, anomenada matriu de coordenades de w.

Per tant les coordenades de el vector w en la base B s'expressen mitjançant:

_B =

La matriu de coordenades no és el vector, ja que un vector no és el mateix que les seves coordenades. Aquestes només són un conjunt de nombres que serveixen per expressar a el vector en una base donada, no el vector com a tal. A més depenen de la base seleccionada.

Finalment, seguint el teorema, el vector w quedaria expressat així:

w = (18/05) v ₁ + (1/5) v ₂ + v ₃

Amb: v ₁ = <3/5, 4 / 5,0>; v ₂ = <- 4/5, 3 / 5,0>; v ₃ = <0,0,1>}, és a dir, els vectors de la base B.

referències

1. Larson, R. Fonaments d'Àlgebra Lineal. 6ta. Edició. Cengage Learning.
2. Larson, R. 2006. Càlcul. 7dt. Edició. Volum 2. McGraw Hill.
3. Sales, J. Àlgebra Lineal. Tema 10. Bases ortonormals. Recuperat de: ocw.uc3m.es.
4. Universitat de Sevilla. Coordenades cilíndriques. Base vectorial. Recuperat de: laplace.us.es.
5. Wikipedia. Base ortonormal. Recuperat de: es.wikipedia.org.