ANÀLISI DIMENSIONAL: TÈCNIQUES, PRINCIPI I EXERCICIS - FÍSICA - 2025

L' anàlisi dimensional és una eina molt usada en diferents branques de la ciència i l'enginyeria per entendre millor els fenòmens que impliquen la presència de diferents magnituds físiques. Les magnituds tenen dimensions i d'aquestes es deriven les diferents unitats de mesura.

L'origen del concepte de dimensió es troba en el matemàtic francès Joseph Fourier, que va ser qui el va encunyar. Fourier també va comprendre que, perquè dues equacions puguin ser comparables, han de ser homogènies pel que fa a les seves dimensions. És a dir, no es poden sumar metres amb quilograms.

Així, l'anàlisi dimensional s'encarrega d'estudiar les magnituds, les dimensions i l'homogeneïtat de les equacions físiques. Per això s'empra freqüentment per comprovar relacions i càlculs, o per construir hipòtesis sobre qüestions complicades que, amb posterioritat, puguin ser comprovades de forma experimental.

D'aquesta manera, l'anàlisi dimensional és una eina perfecta per a detectar errors en els càlculs a l'comprovar la congruència o incongruència de les unitats utilitzades en els mateixos, posant especialment el focus en les unitats dels resultats finals.

A més, l'anàlisi dimensional s'empra per projectar experiments sistemàtics. Permet reduir el nombre d'experiments necessaris, així com facilitar la interpretació dels resultats obtinguts.

Una de les bases fonamentals de l'anàlisi dimensional és que és possible representar qualsevol magnitud física com un producte de les potències d'una quantitat més reduïda, les conegudes com magnituds fonamentals de les quals deriven les altres.

Magnituds fonamentals i fórmula dimensional

En física es consideren magnituds fonamentals a aquelles que permeten expressar a les altres en funció d'aquestes. Per convenció, s'han triat les següents: la longitud (L), el temps (T), la massa (M), la intensitat de corrent elèctric (I), la temperatura (θ), la intensitat lluminosa (J) i la quantitat de substància (N).

Per contra, la resta és considerat magnituds derivades. Algunes d'aquestes són: l'àrea, el volum, la densitat, la velocitat, l'acceleració, entre d'altres.

Es defineix com a fórmula dimensional a la igualtat que presenta la relació que es dóna entre una magnitud derivada i les fonamentals.

Tècniques d'anàlisi dimensional

Hi ha diverses tècniques o mètodes d'anàlisi dimensional. Dos dels més importants són els següents:

Mètode de Rayleigh

Rayleigh, que va ser al costat de Fourier un dels precursors de l'anàlisi dimensional, va desenvolupar un mètode directe i molt senzill que permet aconseguir elements adimensionals. En aquest mètode es segueixen els següents passos:

1- Es defineix la funció de caràcter potencial de la variable dependent.

2- Es canvia cada variable per les seves dimensions corresponents.

3- S'estableixen les equacions de condició d'homogeneïtat.

4- Es fixen les np incògnites.

5- Es substitueixen els exponents que s'han calculat i fixat en l'equació potencial.

6- Es desplacen els grups de variables per anar definint els números adimensionals.

Mètode de Buckingham

Aquest mètode es basa en el teorema de Buckingham o teorema de pi, que afirma el següent:

Si es dóna una relació a nivell dimensional homogènia entre un nombre "n" de magnituds físiques o variables on apareixen incloses "p" dimensions fonamentals diferents, també es dóna una relació dimesionalmente d'homogeneïtat entre n-p, grups adimensionals independents.

Principi d'homogeneïtat dimensional

El principi de Fourier, conegut també com a principi d'homogeneïtat dimensional, incideix en l'adequada estructuració de les expressions que vinculen magnituds físiques algebraicament.

Es tracta d'un principi que té consistència matemàtica i afirma que l'única opció és restar o sumar entre si magnituds físiques que siguin de la mateixa naturalesa. Per tant, no és possible sumar una massa amb una longitud, ni un temps amb una superfície, etc.

De la mateixa manera, el principi afirma que, perquè les equacions físiques siguin correctes a nivell dimensional, el total dels termes dels membres dels dos costats de la igualtat ha de tenir la mateixa dimensió. Aquest principi permet garantir la coherència de les equacions físiques.

Principi de similitud

El principi de similitud és una extensió de l'caràcter d'homogeneïtat a nivell dimensional de les equacions físiques. S'enuncia de la següent forma:

Les lleis físiques romanen sense variació davant el canvi de les dimensions (mida) d'un fet físic en un mateix sistema d'unitats, tant si es tracta de canvis de caràcter real o imaginari.

L'aplicació més clara del principi de similitud es dóna en l'anàlisi de les propietats físiques d'una maqueta feta a una escala menor, per a posteriorment utilitzar els resultats en l'objecte a mida real.

Aquesta pràctica és fonamental en camps com el disseny i la fabricació d'avions i vaixells i en les grans obres hidràuliques.

aplicacions

Entre les moltes aplicacions de l'anàlisi dimensional es poden destacar les que s'enumeren a continuació.

- Localitzar possibles errors en les operacions realitzades

- Resoldre problemes la resolució presenta alguna dificultat matemàtica insalvable.

- Dissenyar i analitzar models a escala reduïda.

- Realitzar observacions sobre com influeixen les possibles modificacions en un model.

A més, l'anàlisi dimensional s'utilitza amb força freqüència en l'estudi de la mecànica de fluids.

La rellevància de l'anàlisi dimensional en la mecànica de fluids es deu al fet que difícil que resulta establir equacions en certs fluxos així com a la dificultat per resoldre-les, pel que resulta impossible aconseguir relacions empíriques. Per això fa necessari acudir a l'mètode experimental.

exercicis resolts

primer exercici

Halle l'equació dimensional de la velocitat i de l'acceleració.

solució

Atès que v = s / t, es compleix que: = L / T = L ∙ T ^-1

De la mateixa manera:

a = v / t

= L / T ² = L ∙ T ^-2

segon exercici

Determineu l'equació dimensional de la quantitat de moviment.

solució

Atès que la quantitat de moviment és el producte entre la massa i la velocitat, es compleix que p = m ∙ v

Per tant:

= M ∙ L / T = M ∙ L ∙ T ^-2

referències

1. Anàlisi dimensional (nd). En Wikipedia. Recuperat el 19 de maig, 2018, des es.wikipedia.org.
2. Dimensional analysis (nd). En Wikipedia. Recuperat el 19 de maig, 2018, des en.wikipedia.org.
3. Langhaar, HL (1951), Dimensional Analysis and Theory of Models, Wiley.
4. Fidalgo Sánchez, José Antonio (2005). Física i Química. Everest
5. David C. Cassidy, Gerald James Holton, Floyd James Rutherford (2002). Understanding physics. Birkhäuser.