OVAL (FIGURA GEOMÈTRICA): CARACTERÍSTIQUES, EXEMPLES, EXERCICIS - MATEMÀTIQUES - 2026

El oval simètric es defineix com una corba plana i tancada, que posseeix dos eixos de simetria perpendiculars -un major i un altre menor- i està conformada per dos arcs de circumferència iguals dos a dos.

D'aquesta manera es pot traçar amb ajuda d'un compàs i alguns punts de referència sobre un dels eixos de simetria. En tot cas, hi ha diverses maneres de traçar, com veurem després.

Figura 1. Vista del Coliseu de Roma, un exemple de forma oval en arquitectura. Font: Pixabay.

És un revolt molt familiar, ja que se la reconeix com el contorn d'una el·lipse, sent aquesta un cas particular de l'oval. Però l'oval no és una el·lipse encara que en ocasions se li sembli molt, ja que les seves propietats i traçat difereixen. Per exemple l'el·lipse no es construeix amb compàs.

Característiques

L'oval té aplicacions molt variades: arquitectura, indústria, disseny gràfic, rellotgeria i joieria són només algunes àrees on es destaca el seu ús.

Les característiques més destacades d'aquesta important corba són les següents:

-Pertany a el grup de corbes tècniques: es traça formant arcs de circumferència amb ajuda d'un compàs.

-Tots els seus punts es troben sobre un mateix pla.

-Carece de corbes o llaços.

-La seva traçat és continu.

-La corba de l'oval ha de ser suau i convexa.

-Al traçar una recta tangent a l'oval, tot ell es troba de la mateixa banda de la recta.

-Un oval només admet dues tangents paral·leles a màxim.

exemples

Hi ha diversos mètodes per construir ovals que requereixen l'ús de regle, escaire i compàs. Seguidament anem a esmentar alguns dels més usats.

Construcció d'un oval mitjançant circumferències concèntriques

Figura 2. Forma de dibuixar un oval mitjançant dues circumferències concèntriques. Font: Wikimedia Commons. Kmhkmh

La figura 2, a dalt, mostra dues circumferències concèntriques amb centre en l'origen. L'eix major de l'oval mesura el mateix que el diàmetre de la circumferència externa, mentre que l'eix menor correspon a el diàmetre de la circumferència interior.

-Es traça un radi arbitrari fins a la circumferència exterior, que talla a dues circumferències en els punts P ₁ i P ₂.

-Seguidamente es projecta el punt P ₂ sobre l'eix horitzontal.

-En forma semblant, es projecta el punt P ₁ sobre l'eix vertical.

-La intersecció de les dues línies de projecció és el punt P i pertany a l'oval.

-Tots els punts d'aquesta secció de l'oval es poden traçar d'aquesta manera.

-La resta de l'oval es traça amb el procediment anàleg, dut a terme en cada quadrant.

exercicis

Seguidament s'examinaran altres formes de construir ovals, donada una certa mesura inicial, que determinarà la seva grandària.

- Exercici 1

Traçar amb ajuda de regla i compàs un oval, conegut el seu eix major la longitud és 9 cm.

solució

A la figura 3, que es mostra a continuació, apareix l'oval resultant en color vermell. Cal prestar especial atenció a les línies de punts, que són les construccions auxiliars necessàries per dibuixar un oval l'eix major s'especifica. Anem a indicar tots els passos necessaris per arribar a el dibuix final.

Figura 3. Construcció d'un oval donat el seu eix major. Font: F. Zapata.

pas 1

Traçar amb un regle el segment AB de 9 cm.

pas 2

Trisectar el segment AB, és a dir, dividir-lo en tres segments d'igual longitud. Com el segment original AB mesura 9 cm, els segments AC, CD i DB han de mesurar 3 cm cada un.

pas 3

Amb el compàs, fent centre en C i obertura CA es traça una circumferència auxiliar. Similarment es dibuixa amb el compàs la circumferència auxiliar de centre D i radi DB.

pas 4

Es marquen les interseccions de les dues circumferències auxiliars construïdes en el pas anterior. En diem punts E i F.

pas 5

Amb la regla es tracen les següents semirectes: [FC), [FD), [EC), [ED).

pas 6

Les semirectes d'el pas anterior tallen a les dues circumferències auxiliars en els punts G, H, I, J respectivament.

pas 7

Amb el compàs es fa centre en F i amb obertura (o ràdio) FG es traça l'arc GH. Similarment, fent centre en E i amb ràdio EI es traça l'arc IJ.

pas 8

La unió dels arcs GJ, JI, IH i HG formen un oval l'eix major mesura 9 cm.

pas 9

Es procedeix a esborrar (amagar) els punts i traços auxiliars.

- Exercici 2

Traçar amb regle i compàs un oval, l'eix menor és conegut i la seva mesura és 6 cm.

solució

Figura 4. Construcció d'un oval donat el seu eix menor. Font: F. Zapata.

La figura de dalt (figura 4) mostra el resultat final de la construcció de l'oval (en vermell), així com les construccions intermèdies necessàries per arribar-hi. Els passos que es van seguir per construir l'oval d'eix menor 6 cm van ser els següents:

pas 1

Es traça amb la regla el segment AB de 6 cm de longitud.

pas 2

Amb el compàs i la regla es traça la mediatriu a el segment AB.

pas 3

La intersecció de la mediatriu amb el segment AB, dóna com a resultat el punt mig C de l'segment AB.

pas 4

Amb el compàs es traça la circumferència de centre C i radi CA.

pas 5

La circumferència traçada en el pas anterior intercepta a la mediatriu d'AB en els punts E i D.

pas 6

Es tracen les semirectes [AD), [AE), [BD) i [BE).

pas 7

Amb el compàs es tracen les circumferències de centre A i radi AB i la de centre B i radi BA.

pas 8

Les interseccions de les circumferències traçades en el pas 7, amb les semirectes construïdes en el pas 6, determinen quatre punts, a saber: F, G, H, I.

pas 9

Amb centre en D i ràdio DI es traça l'arc IF. De la mateixa manera, amb centre a E i ràdio EG es traça l'arc GH.

pas 10

La unió dels arcs de circumferència FG, GH, HI i IF determinen l'oval buscat.

referències

1. Ed Plàstica. Corbes tècniques: ovals, ovoides i espirals. Recuperat de: dibujonavarres.wordpress.com.
2. Mathematische Basteleien. Egg Curves and Ovals. Recuperat de: Mathematische-basteleien.
3. Universitat de València. Còniques i Corbes Tècniques Planas. Recobrat de: ocw.uv.es.
4. Wikipedia. Oval. Recuperat de: es.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Oval. Recuperat de: en.wikipedia.org.