SÈRIE DE POTÈNCIES: EXEMPLES I EXERCICIS - MATEMÀTIQUES - 2026

Una sèrie de potències consisteix en una sumatòria de termes en forma de potències de la variable x, o més generalment, de xc, on c és nombre real constant. En la notació de sumatori una sèrie de potències s'expressa de la següent manera:

On els coeficients a _o, a ₁, a ₂… són nombres reals i la sèrie comença a n = 0.

Figura 1. Definició d'una sèrie de potència. Font: F. Zapata.

Aquesta sèrie està centrada en el valor c que és constant, però es pot triar que c sigui igual a 0, en aquest cas la sèrie de potències es simplifica a:

Les sèries comencen amb a _o (xc) ⁰ ja _o x ⁰ respectivament. Però sabem que:

(xc) ⁰ = x ⁰ = 1

Per tant a _o (xc) ⁰ = a _o x ⁰ = a _o (terme independent)

El millor de les sèries de potències és que amb elles es poden expressar funcions i això té molts avantatges, sobretot si es vol treballar amb una funció complicada.

Quan aquest és el cas, en comptes d'usar directament la funció, s'utilitza el seu desenvolupament en sèrie de potències, que pot ser més fàcil de derivar, integrar, o treballar numèricament.

Per descomptat tot queda condicionat a la convergència de la sèrie. Una sèrie convergeix quan a l'sumar certa quantitat gran de termes s'obté un valor fix. I si sumem més termes encara, seguim obtenint aquest valor.

Funcions com sèries de potències

Com a exemple de funció expressada com una sèrie de potència prenguem f (x) = i ^x.

Aquesta funció es pot expressar en termes d'una sèrie de potències com segueix:

i ^x ≈ 1 + x + (x ² /2!) + (x ³ /3!) + (x ⁴ /! 4) + (x ⁵ /5!) +…

On n! = N. (N-1). (N-2). (N-3)… i es pren 0! = 1.

Anem a comprovar amb l'ajuda d'una calculadora, que efectivament la sèrie coincideix amb la funció donada en forma explícita. Per exemple comencem fent x = 0.

Sabem que i ⁰ = 1. Vegem el que fa la sèrie:

i ⁰ ≈ + 0 1 + (0 ² /2!) + (0 ³ /3!) + (0 ⁴ /! 4) + (0 ⁵ /5!) +… = 1

I ara provem amb x = 1. Una calculadora llança que i ¹ = 2.71828, i seguidament comparem amb la sèrie:

i ¹ ≈ 1 + 1 + (1 ² /2!) + (1 ³ /3!) + (1 ⁴ /! 4) + (1 ⁵ /5!) +… = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… ≈ 2.7167

Amb tan sols 5 termes ja tenim coincidència exacta en e ≈ 2.71. A la nostra sèrie li falta tot just una mica més, però a mesura que es vagin sumant més termes, amb tota certesa la sèrie convergeix a el valor exacte d'e. La representació és exacta quan n → ∞.

Si es repeteix l'anàlisi anterior per an = 2 s'obtenen resultats molt semblants.

D'aquesta manera estem segurs que la funció exponencial f (x) = i ^x es pot representar mitjançant aquesta sèrie de potències:

Figura 2. En aquesta animació es veu com la sèrie de potències s'acosta més a la funció exponencial a mesura que es prenen més termes. Font: Wikimedia Commons.

Sèries geomètriques de potències

La funció f (x) = i ^x no és l'única funció que admet una representació en sèrie de potències. Per exemple, la funció f (x) = 1/1 - x s'assembla molt a la coneguda sèrie geomètrica convergent:

Només cal que feu a = 1 ir = x per obtenir una sèrie adequada a aquesta funció, que està centrada en c = 0:

No obstant això, se sap que aquesta sèrie és convergent per │r│ <1, per tant la representació és vàlida únicament en l'interval (-1,1), encara que la funció sigui vàlida per a tot x, excepte x = 1.

Quan es vol definir aquesta funció en un altre interval, simplement es centra en un valor adequat i llest.

Com trobar el desenvolupament en sèrie de potències d'una funció

Una funció qualsevol es pot desenvolupar en una sèrie de potències centrada en c, sempre que tingui derivades de tots els ordres en x = c. El procediment fa ús de el següent teorema, anomenat teorema de Taylor:

Sigui f (x) una funció amb derivades d'ordre n, denotades com f ⁽ⁿ⁾, la qual admet un desenvolupament en sèrie de potències en l'interval I. El seu desenvolupament en sèrie de Taylor és:

De manera que:

On R _n, que és el terme enèsim de la sèrie, rep el nom de residu:

Quan c = 0 la sèrie rep el nom de sèrie de Maclaurin.

Aquesta sèrie donada aquí és idèntica a la sèrie donada a l'començament, només que ara es té una forma de trobar explícitament els coeficients de cada terme, donats per:

No obstant això, cal assegurar que la sèrie convergeixi a la funció que es vol representar. Passa que no tota sèrie de Taylor necessàriament convergeix a la f (x) que es tenia en ment a l'calcular els coeficients a _n.

Això passa perquè potser les derivades de la funció, avaluades en x = c coincideixen amb el mateix valor de les derivades d'una altra, també en x = c. En aquest cas els coeficients serien els mateixos, però el desenvolupament seria ambigu al no tenir la certesa a quin funció correspon.

Per fortuna hi ha una manera de saber:

Criteri de convergència

Per evitar l'ambigüitat, si R _n → 0 quan n → ∞ per a tot x en l'interval I, la sèrie convergeix af (x).

exercici

- Exercici resolt 1

Trobar la sèrie geomètrica de potències per a la funció f (x) = 1/2 - x centrada en c = 0.

solució

Cal expressar la funció donada de manera que coincideixi el més que sigui possible amb 1 / 1- x, la sèrie es coneix. Per tant Reescrivim numerador i denominador, sense alterar l'expressió original:

1/2 - x = (1/2) /

Com ½ és constant surt fora de la sumatòria, i aquesta s'escriu en termes de la nova variable x / 2:

Cal notar que x = 2 no pertany a el domini de la funció, i d'acord a l'criteri de convergència donat a la secció Sèries geomètriques de potència, el desenvolupament és vàlid per │x / 2│ <a 1 o equivalentment -2 <x <2.

- Exercici resolt 2

Trobar els 5 primers termes d'el desenvolupament en sèrie de Maclaurin de la funció f (x) = sin x.

solució

pas 1

Primer es troben les derivades:

Derivada d'ordre 0: és la mateixa funció f (x) = sin x

-Primera derivada: (sin x) '= cos x

-Segona derivada: (sin x)'' = (cos x) '= - sin x

-Tercera derivada: (sin x)''' = (-sen x) '= - cos x

-Quarta derivada: (sin x)'''' = (- cos x) '= sin x

pas 2

Després s'avalua cada derivada en x = c, com és un desenvolupament de Maclaurin, c = 0:

sin 0 = 0; cos 0 = 1; - sin 0 = 0; -cos 0 = -1; sin 0 = 0

pas 3

Es construeixen els coeficients a _n;

a _o = 0/0! = 0; a ₁ = 1/1! = 1; a ₂ = 0/2! = 0; a ₃ = -1 / 3 !; a ₄ = 0/4! = 0

pas 4

Finalment s'arma la sèrie segons:

sin x ≈ 0.x ⁰ + 1. x ¹ + 0.x ² - (1/3!) x ³ + 0.x ⁴… = x - (1/3!)) x ³ +…

¿El lector necessita més termes? Quants més, la sèrie s'apropa més a la funció.

Cal notar que hi ha un patró en els coeficients, el següent terme no nul és a ₅ i tots els d'índex imparell també són diferents de 0, alternant els signes, de manera que:

sin x ≈ x - (1/3!)) x ³ + (1/5!)) x ⁵ - (1/7!)) x ⁷ +….

Es deixa com a exercici comprovar que convergeix, es pot usar el criteri de l'quocient per a la convergència de sèries.

referències

1. CK-12 Foundation. Sèries de Potències: representació de funcions i operacions. Recuperat de: ck12.org.
2. Engler, A. 2019. Càlcul Integral. Universitat Nacional d'el Litoral.
3. Larson, R. 2010. Càlcul d'una variable. 9na. Edició. McGraw Hill.
4. Mathematics Lliure Texts. Power sèries. Recuperat de: math.liibretexts.org.
5. Wikipedia. Sèries de potència. Recuperat de: es.wikipedia.org.