La regla d'Sturges és un criteri utilitzat per determinar el nombre de classes o intervals que són necessaris per a representar gràficament un conjunt de dades estadístiques. Aquesta regla va ser enunciada el 1926 pel matemàtic alemany Herbert Sturges.
Sturges va proposar un mètode senzill, basat en el nombre de mostres x que permetessin trobar el nombre de classes i la seva amplitud de rang. La regla d'Sturges és molt utilitzada sobretot en l'àrea de l'estadística, específicament per construir histogrames de freqüència.
explicació
La regla d'Sturges és un mètode empíric molt utilitzat en l'estadística descriptiva per determinar el nombre de classes que han d'existir en un histograma de freqüències, per així poder classificar un conjunt de dades que representen una mostra o població.
Bàsicament, amb aquesta regla es determina l'ample dels contenidors gràfics, dels histogrames de freqüència.
Per establir la seva regla Herbert Sturges va considerar un diagrama de freqüències ideal, que consta de K intervals, on l'i-èsim interval conté un determinat nombre de mostres (i = 0,… k - 1), representat com:
Aquest nombre de mostres és donat pel nombre de formes en què es pot extreure un subconjunt d'un conjunt; és a dir, pel coeficient binomial, expressat de la següent manera:
Per simplificar l'expressió, va aplicar les propietats dels logaritmes en ambdues parts de l'equació:
Així, Sturges va establir que el nombre òptim d'intervals k és donat per l'expressió:
També pot ser expressada com:
En aquesta expressió:
- k és el nombre de classes.
- N és el nombre total d'observacions de la mostra.
- Log és el logaritme comú de base 10.
Per exemple, per elaborar un histograma de freqüència que expressi una mostra aleatòria de l'estatura de 142 nens, el nombre d'intervals o classes que tindrà la distribució és:
k = 1 + 3,322 * log 10 (N)
k = 1 + 3,322 * log (142)
k = 1 + 3,322 * 2,1523
k = 8,14 ≈ 8
Així, la distribució serà en 8 intervals.
El nombre d'intervals sempre ha d'estar representat per nombres sencers. En els casos en què el valor sigui decimal, s'ha de fer una aproximació a l'enter més proper.
aplicacions
La regla d'Sturges és aplicada principalment en estadística, ja que aquesta permet realitzar una distribució de freqüències a través del càlcul de la quantitat de classes (k), així com la longitud de cadascuna d'aquestes, coneguda també com amplitud.
L'amplitud és la diferència de el límit superior i inferior de la classe, dividit entre el nombre de classes, i s'expressa:
Hi ha moltes regles empíriques que permeten fer una distribució de freqüències. No obstant això, la regla de Sturges és comunament usada perquè fa una aproximació de l'nombre de classes, que generalment va de 5 a 15.
D'aquesta manera, considera un valor que representa adequadament una mostra o població; és a dir, l'aproximació no representa agrupacions extremades, així com tampoc treballa amb un nombre excessiu de classes que no permetin resumir la mostra.
exemple
Es necessita realitzar un histograma de freqüència d'acord a les dades donades, que corresponen a edats obtingudes en una enquesta realitzada a homes que fan exercicis en un gimnàs de la localitat.
Per determinar els intervals s'ha de saber quin és la mida de la mostra o el nombre d'observacions; en aquest cas, es tenen 30.
Després s'aplica la regla de Sturges:
k = 1 + 3,322 * log 10 (N)
k = 1 + 3,322 * log (30)
k = 1 + 3,322 * 1,4771
k = 5,90 ≈ 6 intervals.
A partir del nombre d'intervals, es pot calcular l'amplitud que aquests tindran; és a dir, l'amplada de cada barra representada a l'histograma de freqüències:
El límit inferior és considerat com el valor menor de les dades, i el superior és el valor més gran. La diferència entre el límit superior i inferior és denominada rang o recorregut de la variable (R).
De la taula es té que el límit superior és 46 i l'inferior 13; d'aquesta manera, l'amplitud de cada classe serà:
Els intervals estaran compostos per un límit superior i inferior. Per determinar aquests intervals es comença explicant des del límit inferior, sumant-li a aquest l'amplitud determinada per la regla (6), de la següent manera:
Després es calcula la freqüència absoluta per determinar el nombre d'homes que corresponen a cada interval; en aquest cas és:
- Interval 1: 13 - 18 = 9
- Interval 2: 19 - 24 = 9
- Interval 3: 25 - 30 = 5
- Interval 4: 31 - 36 = 2
- Interval 5: 37 - 42 = 2
- Interval 6: 43 - 48 = 3
A l'sumar la freqüència absoluta de cada classe, aquesta ha de ser igual a el nombre total de la mostra; en aquest cas, 30.
Posteriorment es calcula la freqüència relativa de cada interval, dividint la freqüència absoluta d'aquesta entre el nombre total d'observacions:
- Interval 1: fi = 9 ÷ 30 = 0,30
- Interval 2: fi = 9 ÷ 30 = 0,30
- Interval 3: fi = 5 ÷ 30 = 0,1666
- Interval 4: fi = 2 ÷ 30 = 0,0666
- Interval 5: fi = 2 ÷ 30 = 0,0666
- Interval 4: fi = 3 ÷ 30 = 0,10
Després es pot fer una taula que reflecteixi les dades, i també el diagrama a partir de la freqüència relativa amb relació als intervals obtinguts, com es pot observar en les següents imatges:
D'aquesta manera, la regla de Sturges permet determinar la quantitat de classes o intervals en els quals pot ser dividida una mostra, amb la finalitat de resumir una mostra de dades a través de l'elaboració de taules i gràfiques.
referències
- Alfonso Urquía, MV (2013). Modelatge I Simulació De events discrets. UNED,.
- Altman Naomi, MK (2015). "Simple Linear Regression." Nature Methods.
- Antúnez, RJ (2014). Estadística en l'educació. Digital UNIT.
- Fox, J. (1997.). Applied Regression Analysis, Linear Models, and Related Methods. SAGE Publications.
- Humberto Llinàs Solano, CR (2005). Estadística descriptiva i distribucions de probabilitat. Universitat de el Nord.
- Panteleeva, OV (2005). Fonaments de Probabilitat i Estadística.
- O. Kuehl, MO (2001). Disseny d'Experiments: Principis Estadístics de Disseny I anàlisi de Recerca. Thomson Editors.