REDUCCIÓ DE TERMES SEMBLANTS (AMB EXERCICIS RESOLTS) - MATEMÀTIQUES - 2025

La reducció de termes semblants és un mètode que s'empra per a simplificar expressions algebraiques. En una expressió algebraica, els termes semblants, són aquells que tenen la mateixa variable; és a dir, tenen les mateixes incògnites representades per una lletra, i aquestes tenen els mateixos exponents.

En alguns casos els polinomis són extensos, i per arribar a una solució s'ha de tractar de reduir l'expressió; això és possible quan hi ha termes que són semblants, que poden ser combinats aplicant operacions i propietats algebraiques com a suma, resta, multiplicació i divisió.

explicació

Els termes semblants estan formats per les mateixes variables amb els mateixos exponents, i en alguns casos aquests només es diferencien per les seves coeficients numèrics.

També són considerats termes semblants a aquells que no tenen variables; és a dir, aquells termes que només posseeixen constants. Així, per exemple, els següents són termes semblants:

- 6x ² - 3x ². Tots dos termes tenen la mateixa variable x ².

- 4a ² b ³ + 2a ² b ³. Tots dos termes tenen les mateixes variables a ² b ³.

- 7 - 6. Els termes són constants.

Aquells termes que tenen les mateixes variables però amb diferents exponents són anomenats termes no semblants, com per exemple:

- 9a ² b + 5aB. Les variables tenen diferents exponents.

- 5x + i. Les variables són diferents.

- b - 8. Un terme té una variable, l'altre és una constant.

Identificant els termes semblants que formen un polinomi, aquests es poden reduir a un, combinant tots aquells que tinguin les mateixes variables amb iguals exponents. D'aquesta manera es simplifica l'expressió disminuint el nombre de termes que la componen i es facilita el càlcul de la seva solució.

Com fer una reducció de termes semblants?

La reducció de termes semblants es fa aplicant la propietat associativa de l'addició i la propietat distributiva del producte. Usant el següent procediment es pot fer una reducció de termes:

- Primer s'agrupen el termes semblants.

- Es sumen o resten els coeficients (els números que a acompanyen a les variables) dels termes semblants, i s'apliquen les propietats associatives, commutatives o distributives, segons sigui el cas.

- Després s'escriuen els nous termes obtinguts, col·locant davant d'aquests el signe que va resultar de l'operació.

exemple

Reduir els termes de la següent expressió: 10x + 3y + 4x + 5y.

solució

Primer s'ordenen els termes per agrupar els que són semblants, aplicant la propietat commutativa:

10x + 3y + 4x + 5y = 10x + 4x + 3y + 5y.

Després s'aplica la propietat distributiva i se sumen els coeficients que acompanyen a les variables per obtenir la reducció dels termes:

10x + 4x + 3y + 5y

= (10 + 4) x + (3 + 5) i

= 14x + 8y.

Per reduir termes semblants és important tenir en compte els signes que tenen els coeficients que acompanyen a la variable. Hi ha tres casos possibles:

Reducció de termes semblants amb signes iguals

En aquest cas els coeficients són sumats i davant de l'resultat es col·loca el signe dels termes. Per tant, si són positius, els termes resultants seran positius; en el cas que els termes siguin negatius, el resultat tindrà el signe (-) acompanyat de la variable. Per exemple:

a) 22ab ² + 12ab ² = 34 ab ².

b) -18x ³ - 9x ³ - 6 = -27x ³ - 6.

Reducció de termes semblants c

En aquest cas es resten els coeficients, i davant de l'resultat es col·loca el signe de el coeficient més gran. Per exemple:

a) 15x ² i - 4x ² i + 6x ² i - 11x ² i

= (15x ² i + 6x ² i) + (- 4x ² i - 11x ² i)

= 21x ² i + (-15x ² i)

= 21x ² i - 15x ² i

= 6x ² i.

b) -5a ³ b +3 a ³ b - 4a ³ b + a ³ b

= (3 a ³ b + a ³ b) + (-5a ³ b - 4a ³ b)

= 4a ³ b - 9a ³ b

= -5 a ³ b.

D'aquesta manera, per reduir els termes semblants que posseeixin signes diferents es forma un sol terme additiu amb tots aquells que tinguin signe positiu (+), se sumen els coeficients i el resultat s'acompanya de les variables.

De la mateixa manera es forma un terme substractiu, amb tots aquells termes que tinguin signe negatiu (-), se sumen els coeficients i el resultat s'acompanya de les variables.

Finalment es resten les sumes dels dos termes formats, i a el resultat es col·loca el signe de la més gran.

Reducció de termes semblants en operacions

La reducció de termes semblants és una operació de l'àlgebra, que pot ser aplicada en suma, resta, multiplicació i divisió algebraica.

en sumes

Quan es tenen diversos polinomis amb termes semblants, per reduir-los s'ordenen els termes de cada polinomi mantenint els seus signes, després s'escriuen uns després d'altres i es redueixen els termes semblants. Per exemple, es tenen els següents polinomis:

3x - 4xy + 7x ² i + 5xy ².

- 6x ² i - 2xy +9 xi ² - 8x.

en restes

Per restar un polinomi d'un altre s'escriu el minuend i després el subtrahend amb els seus signes canviats, i després es fa la reducció dels termes semblants. Per exemple:

5a ³ - 3ab ² + 3b ² c

6aB ² + 2a ³ - 8b ² c

Així, els polinomis són resumits a 3a ³ - 9AB ² + 11b ² c.

en multiplicacions

En un producte de polinomis es multipliquen els termes que conformen el multiplicant per cada terme que forma el multiplicador, considerant que els signes de la multiplicació es mantenen iguals si aquests són positius.

Només es canviaran quan es multipliqui per un terme que sigui negatiu; és a dir, quan dos termes de el mateix signe es multipliquen el resultat serà positiu (+), i quan tenen signes diferents el resultat serà negatiu (-).

Per exemple:

a) (a + b) _* (a + b)

= A ² + b + b + b ²

= A ² + 2ab + b ².

b) (a + b) _* (a - b)

= A ² - b + b - b ²

= A ² - b ².

c) (a - b) _* (a - b)

= A ² - b - b + b ²

= A ² - 2ab + b ².

en divisions

Quan es volen reduir dos polinomis a través d'una divisió s'ha de trobar un tercer polinomi que, a l'multiplicar pel segon (divisor), doni com a resultat el primer polinomi (dividend).

Per això s'han d'ordenar els termes de l'dividend i el divisor, d'esquerra a dreta, de manera que les variables en tots dos estiguin en el mateix ordre.

Després es realitza la divisió, començant des del primer terme de l'esquerra el dividend entre el primer de l'esquerra el divisor, tenint sempre en compte els signes de cada terme.

Per exemple, reduir el polinomi: 10x ⁴ - 48x ³ i + 51X ² i ² + 4xy ³ - 15I ⁴ dividint entre el polinomi: -5x ² + 4xy + 3y ².

El polinomi resultant és -2x ² + 8xy - 5y ².

exercicis resolts

primer exercici

Reduir els termes de l'expressió algebraica donada:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6aB - 9 + 4a ² - 13 ab.

solució

S'aplica la propietat commutativa de la suma, agrupant els termes que tinguin les mateixes variables:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6aB + 9 + 4a ² - 13

= (15a ² + 6a ² + 4a ²) + (- 8ab - 6aB) + (9 - 13).

Després s'aplica la propietat distributiva de la multiplicació:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6aB + 9 + 4a ² - 13

= (15 + 6 + 4) a ² + (- 8 - 6) ab + (9 - 13).

Per finalitzar, es simplifiquen sumant i restant els coeficients de cada terme:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6aB + 9 + 4a ² - 13

= 25a ² - 14ab - 4.

segon exercici

Simplificar el producte dels següents polinomis:

(8x ³ + 7xy ²) _* (8x ³ - 7 xy ²).

solució

Es multiplica cada terme del primer polinomi pel segon, tenint en compte que els signes dels termes són diferents; per tant, el resultat de la seva multiplicació serà negatiu, així com també s'han d'aplicar les lleis dels exponents.

(8x ³ + 7xy ²) _* (8x ³ - 7xy ²)

= 64 x ⁶ - 56 x ³ _* xi ² + 56 x ³ _* xi ² - 49 x ² i ⁴

= 64 x ⁶ - 49 x ² i ⁴.

referències

1. Àngel, AR (2007). Àlgebra Elemental. Pearson Educació,.
2. Baldor, A. (1941). Àlgebra. L'Havana: Cultura.
3. Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Elementary and Intermediate Algebra: A Combined Approach. Florida: Cengage Learning.
4. Smith, SA (2000). Àlgebra. Pearson Educació.
5. Vigil, C. (2015). Àlgebra i les seves Aplicacions.