RECTES OBLIQÜES: CARACTERÍSTIQUES, EQUACIONS I EXEMPLES - MATEMÀTIQUES - 2026

Les rectes obliqües són aquelles que estan inclinades, ja sigui respecte a una superfície plana o una altra recta que indiqui una adreça en particular. A tall d'exemple considereu les tres rectes dibuixades en un pla que apareixen a la següent figura.

Coneixem les seves respectives posicions relatives perquè les comparem amb una línia de referència, que usualment és l'eix x que denota l'horitzontal.

Figura 1. Rectes verticals, horitzontals i obliqües en un mateix pla. Font: F. Zapata.

D'aquesta manera, triant com a referència l'horitzontal, la recta de l'esquerra és vertical, la de el centre és horitzontal i la de la dreta és obliqua, ja que està inclinada respecte a les línies quotidianes de referència.

Ara bé, les rectes que es troben sobre un mateix pla, com pot ser la superfície de el paper o la pantalla, ocupen diferents posicions relatives entre si, depenent de si s'intersecten o no. En el primer cas són rectes secants, mentre que en el segon, són paral·leles.

D'altra banda les rectes secants poden ser al seu torn rectes obliqües o rectes perpendiculars. En tots dos casos, els pendents de les rectes són diferents, però les rectes obliqües formen entre si angles α i β, diferents de 90º, mentre que els angles determinats per les rectes perpendiculars sempre són de 90 º.

A la següent figura es resumeixen aquestes definicions:

Figura 2. Posicions relatives entre rectes: paral·leles, obliqües i perpendiculars difereixen en l'angle que formen entre si. Font: F. Zapata.

equacions

Per conèixer les posicions relatives de les rectes en el pla, cal conèixer l'angle que formen entre si. Cal notar que les rectes són:

Paral·leles: si tenen el mateix pendent (igual direcció) i mai s'intersecten, per això els seus punts són equidistants.

Coincidents: quan tots els seus punts coincideixen i per tant tenen la mateixa pendent, però la distància entre els seus punts és nul·la.

Secants: si els seus pendents són diferents, la distància entre els seus punts varia i la intersecció és un únic punt.

Llavors, una manera de saber si dues rectes en el pla són secants o paral·leles és a través del seu pendent. Els criteris de paral·lelisme i perpendicularitat de les rectes són els següents:

Si coneixent els pendents de dues rectes en el pla no es compleix cap dels criteris anteriors, vam concloure que les rectes són obliqües. Coneixent dos punts d'una recta, el pendent es calcula immediatament, com veurem en la següent secció.

Es pot esbrinar si dues rectes són secants o paral·leles trobant el seu intersecció, resolent el sistema d'equacions que formen: si hi ha solució són secants, si no n'hi ha són paral·leles, però si les solucions són infinites, les rectes són coincidents.

No obstant això aquest criteri no ens informa sobre l'angle entre aquestes rectes, encara en cas que tinguin intersecció.

Per conèixer l'angle entre les rectes, calen dos vectors o i v que pertanyin a cadascuna d'elles. Així és possible saber l'angle que formen mitjançant el producte escalar dels vectors, definit d'aquesta manera:

o • v = uvcos α

Equació de la recta en el pla

Una recta en el pla cartesià pot representar-se de diverses formes, com per exemple:

- Forma pendent-intersecció: si m és el pendent de la recta ib és la intersecció de la recta amb l'eix vertical, l'equació de la recta és y = mx + b.

- Equació general de la recta: Ax + By + C = 0, on m = A / B és el pendent.

En el pla cartesià, les rectes verticals i horitzontals són casos particulars de l'equació de la recta.

- Rectes verticals: x = a

- Rectes horitzontals: i = k

Figura 3. A l'esquerra la recta vertical x = 4 i la recta horitzontal i = 6. A la dreta un exemple de recta obliqua. Font: F. Zapata.

En els exemples de la figura 3, la recta de color vermell vertical té equació x = 4, mentre que la recta paral·lela a l'eix x (blau) té equació i = 6. Quant a la recta de la dreta, veiem que és obliqua i per trobar la seva equació fem servir els punts ressaltats a la figura: (0,2) i (4,0) d'aquesta manera:

El tall d'aquesta recta amb l'eix vertical és i = 2, segons s'adverteix de la gràfica. Amb aquesta informació:

Determinar l'angle d'inclinació respecte a l'eix x és senzill. Noti que:

Per tant l'angle positiu des de l'eix x fins a la recta és: 180º - 26.6º = 153.4º

Exemples de rectes obliqües

Figura 4. Exemples de rectes obliqües. Font: esgrimistes Ian Patterson. Torre inclinada de Pisa. Pixabay.

Les rectes obliqües apareixen en molts llocs, és qüestió de prestar atenció per trobar-les en l'arquitectura, l'esport, el cablejat de l'subministrament elèctric, les canonades i en molts més llocs. En la naturalesa les rectes obliqües també es fan presents, com veurem a continuació:

Els raigs de llum

La llum de el sol es propaga en línia recta, però la forma arrodonida de la Terra afecta la manera en què la llum solar incideix sobre la superfície.

A la imatge de sota podem apreciar clarament que els raigs solars incideixen perpendicularment a les regions tropicals, però en canvi arriben obliquament a la superfície en les regions temperades i en els pols.

Per això els raigs de sol viatgen una distància més llarga a través de l'atmosfera ia més la calor s'escampa sobre una superfície més gran (veure figura). El resultat és que les zones properes als pols són més fredes.

Figura 5. Els raigs de sol incideixen obliquament a les zones temperades i els pols, en canvi són més o menys perpendiculars als tròpics. Font: Wikimedia Commons.

Rectes que no estan en un mateix pla

Quan dues rectes no estan en un mateix pla, tot i així poden ser obliqües o guerxes, com també se les coneix. En aquest cas els seus vectors directors no són paral·lels, però al no pertànyer a un mateix pla, aquestes rectes no tenen intersecció.

Per exemple, les rectes a la figura 6 dreta clarament estan en plans diferents. Si es miren des de dalt s'observa que efectivament es creuen, però no tenen un punt en comú. A la dreta veiem les rodes de la bicicleta, els raigs semblen creuar-quan es veuen de front.

Figura 6. Rectes obliqües pertanyents a diferents plans. Font: esquerra F. Zapata, dreta Pixabay.

referències

1. Geometria. Vector director d'una recta. Recuperat de: juanbragado.es.
2. Larson, R. 2006. Càlcul amb Geometria Analítica. 8va. Edició. McGraw Hill.
3. Les matemàtiques són un joc. Línies i Angles. Recuperat de: juntadeandalucia.es.
4. Rectes que es creuen. Recuperat de: profesoraltuna.com.
5. Villena, M. Geometria Analítica a R3. Recuperat de: dspace.espol.edu.ec.