RAONAMENT ALGEBRAIC (AMB EXERCICIS RESOLTS) - MATEMÀTIQUES - 2026

El raonament algebraic essencialment consisteix és comunicar un argument matemàtic a través d'un llenguatge especial, que el fa més rigorós i general, fent ús de variables algebraiques i operacions definides entre si. Una característica de la matemàtica és el rigor lògic i la tendència abstracta usada en els seus arguments.

Per això és necessari conèixer la «gramàtica» correcta que s'ha d'emprar en aquesta escriptura. A més, el raonament algebraic evita ambigüitats en la justificació d'un argument matemàtic, la qual cosa és essencial per demostrar qualsevol resultat en matemàtiques.

variables algebraiques

Una variable algebraica és simplement una variable (una lletra o símbol) que representa determinat objecte matemàtic.

Per exemple, les lletres x, y, z, se solen utilitzar per representar els nombres que satisfan una equació donada; les lletres p, qr, per representar fórmules proposicionals (o les seves respectives majúscules per representar proposicions específiques); i les lletres A, B, X, etc., per a representar conjunts.

El terme "variable" fa èmfasi en que l'objecte en qüestió no està fix, sinó que varia. Aquest és el cas d'una equació, en la qual es fan servir variables per determinar les solucions que en principi són desconegudes.

En termes generals una variable algebraica es pot considerar com una lletra que representa algun objecte, sigui fix o no.

Així com les variables algebraiques són usades per a representar objectes matemàtics, també podem considerar símbols per representar operacions matemàtiques.

Per exemple, el símbol "+" representa l'operació "suma". Altres exemples són les diferents notacions simbòliques dels connectius lògics en el cas de proposicions i conjunts.

expressions algebraiques

Una expressió algebraica és una combinació de variables algebraiques per mitjà d'operacions prèviament definides. Exemples d'això són les operacions bàsiques de suma, resta, multiplicació i divisió entre nombres, o els connectius lògics en les proposicions i conjunts.

El raonament algebraic s'encarrega d'expressar un raonament o argument matemàtic per mitjà d'expressions algebraiques.

Aquesta forma d'expressió ajuda a simplificar i abreujar l'escriptura, ja que fa ús de notacions simbòliques i permet entendre millor el raonament, presentant d'una manera més clara i precisa.

exemples

Vegem alguns exemples que mostren com es fa servir el raonament algebraic. Amb molta regularitat és emprat per resoldre problemes de lògica i raonament, com veurem en breu.

Considerem la coneguda proposició matemàtica "la suma de dos nombres és commutativa". Vegem com podem expressar aquesta proposició de forma algebraica: donats dos nombres "a" i "b", el que vol dir aquesta proposició és que a + b = b + a.

El raonament usat per interpretar la proposició inicial i expressar-la en termes algebraics és un raonament algebraic.

També podríem fer esment a la famosa expressió "l'ordre dels factors no altera el producte", la qual es refereix al fet que el producte de dos nombres també és commutatiu, i algebraicament s'expressa com axb = bxa.

Anàlogament es poden expressar (i de fet s'expressen) de manera algebraica les propietats associativa i distributiva per la suma i el producte, en les quals estan incloses la resta i la divisió.

Aquest tipus de raonament abasta un llenguatge molt ampli i és usat en múltiples i diferents contextos. Depenent de cada cas, en aquests contextos cal reconèixer patrons, interpretar enunciats i generalitzar i formalitzar la seva expressió en termes algebraics, proporcionant un raonament vàlid i seqüencial.

exercicis resolts

Els següents són alguns problemes de lògica, els quals resoldrem utilitzant un raonament algebraic:

primer exercici

Quin és el nombre que, a l'llevar-li la meitat, queda igual a un?

solució

Per resoldre aquest tipus d'exercicis és molt útil representar el valor que volem determinar per mitjà d'una variable. En aquest cas volem trobar un nombre que a l'llevar-li la meitat, doni com a resultat el número u. Denotem per x el nombre buscat.

"Llevar-li la meitat" a un nombre implica dividir-lo entre 2. Així que l'anterior pot expressar-se algebraicament com x / 2 = 1, i el problema es redueix a resoldre una equació, que en aquest cas és lineal i molt senzilla de resoldre. Si aïllem x obtenim que la solució és x = 2.

En conclusió, 2 és el nombre que a l'llevar-li la meitat queda igual a 1.

segon exercici

Quants minuts falten per a la mitjanit si fa 10 minuts faltaven 5/3 del que falta ara?

solució

Denotem per "z" la quantitat de minuts que falten per a la mitjanit (es pot fer servir qualsevol altra lletra). És a dir que just ara falten "z" minuts per a la mitjanit. Això implica que fa 10 minuts faltaven "z + 10" minuts per a la mitjanit, i això correspon a 5/3 del que falta ara; és a dir, (5/3) z.

Després, el problema es redueix a resoldre l'equació z + 10 = (5/3) z. Multiplicant ambdós costats de la igualtat per 3, s'obté l'equació 3z + 30 = 5z.

Ara, a l'agrupar la variable «z» d'un costat de la igualtat s'obté que 2z = 15, la qual cosa implica que z = 15.

Per tant, falten 15 minuts per a la mitjanit.

tercer exercici

En una tribu que practiquen la barata, hi ha aquestes equivalències:

- Una llança i un collaret s'intercanvien per un escut.

- Una llança és equivalent a un ganivet i un collaret.

- Dos escuts s'intercanvien per tres unitats de ganivets.

A quants collarets és equivalent una llança?

solució

siguin:

Co = un collaret

L = una llança

E = un escut

Cu = un ganivet

Llavors tenim les següents relacions:

Co + L = E

L = Co + Cu

2E = 3Cu

De manera que el problema es redueix a resoldre un sistema d'equacions. Tot i tenir més incògnites que equacions, aquest sistema es pot resoldre, ja que no ens demanen una solució específica sinó una de les variables en funció d'una altra. El que hem de fer és expressar "Co" en funció de «L» exclusivament.

De la segona equació s'ha de Cu = L - Co Substituint en la tercera s'obté que E = (3L - 3CO) / 2. Finalment, substituint en la primera equació i simplificant s'obté que 5Co = L; és a dir, que una llança equival a cinc collarets.

referències

1. Billstein, R., Libeskind, S., & Lott, JW (2013). Matemàtiques: un enfocament de resolució de problemes per a mestres d'educació bàsica. López Mateos Editors.
2. Fonts, A. (2016). MATEMÀTIQUES BÀSIQUES. Una Introducció a l'Càlcul. Lulu.com.
3. García Rua, J., & Martínez Sánchez, JM (1997). Matemàtica bàsica elemental. Ministeri d'Educació.
4. Rees, PK (1986). Algebra. Reverte.
5. Rock, NM (2006). Àlgebra I Is Easy! So Easy. Team Rock Press.
6. Smith, SA (2000). Algebra. Pearson Educació.
7. Szecsei, D. (2006). Basic Math and Pre-Algebra (illustrated ed.). Career Press.