Es diu cosins relatius (coprimers o primers entre entre si) a qualsevol parell de nombres enters que no tenen cap divisor en comú, excepte l'1.
Dit en altres paraules, dos nombres sencers són primers relatius si en les seves descomposicions en nombres primers, no tenen cap factor en comú.
Per exemple, si es trien el 4 i el 25, les descomposicions en factors primers de cada un són 2a i 5² respectivament. Com s'aprecia, aquests no posseeixen cap factor comú, per tant 4 i 25 són primers relatius.
D'altra banda, si es trien el 6 i el 24, a l'realitzar les seves descomposicions en factors primers s'obté quals 6 = 2 * 3 i 24 = 2³ * 3.
Com es pot veure, aquestes últimes dues expressions tenen al menys un factor en comú, per tant, no són primers relatius.
cosins Relatius
Un detall amb el qual cal anar amb compte, és que a el dir que un parell de nombres sencers són primers relatius és que això no implica que cap d'ells sigui un nombre primer.
D'altra banda, la definició de dalt es pot resumir de la següent manera: dos nombres enters «a» i «b» són primers relatius si, i només si, el màxim comú divisor d'aquests és l'1, és a dir, mcd (a, b) = 1.
Dues conclusions immediates d'aquesta definició són que:
-Si «a» (o «b») és un nombre primer, llavors mcd (a, b) = 1.
-Si «a» i «b» són nombres primers, llavors mcd (a, b) = 1.
És a dir, que si a l'almenys un dels nombres escollits és un nombre primer, llavors directament el parell de nombres són primers relatius.
altres Característiques
Altres resultats que s'utilitzen per determinar si dos nombres són primers relatius són:
-Si dos nombres enters són consecutius llavors aquests són primers relatius.
-Dos nombres naturals "a" i "b" són primers relatius si, i només si, els números «(2 ^ a) -1» i «(2 ^ b) -1» són primers relatius.
-Dos números sencers "a" i "b" són primers relatius si, i només si, a l'graficar el punt (a, b) en el pla cartesià, i construir la recta que passa per l'origen (0,0) i (a, b), aquesta no conté cap punt amb coordenades senceres.
exemples
1.- Penseu els números sencers 5 i 12. Les descomposicions en factors primers de tots dos nombres són: 5 i 2a * 3 respectivament. En conclusió, mcd (5,12) = 1, per tant, 5 i 12 són primers relatius.
2.- Siguin els números -4 i 6. Llavors -4 = -2² i 6 = 2 * 3, de manera que el mcd (-4,6) = 2 ≠ 1. En conclusió -4 i 6 no són primers relatius.
Si es procedeix a graficar la recta que passa pels parells ordenats (-4,6) i (0,0), ia determinar l'equació d'aquesta recta, es pot verificar que aquesta passa pel punt (-2,3).
Novament es conclou que -4 i 6 no són primers relatius.
3.- Els números 7 i 44 són primers relatius i es pot concloure ràpidament gràcies al que s'ha dit a dalt, ja que 7 és un nombre primer.
4.- Penseu els números 345 i 346. A l'ésser dos nombres consecutius es verifica que mcd (345,346) = 1, per tant 345 i 346 són primers relatius.
5.- Si es consideren els números 147 i 74, llavors aquests són primers relatius, ja que 147 = 3 * 7² i 74 = 2 * 37, per tant el mcd (147,74) = 1.
6.- Els números 4 i 9 són primers relatius. Per demostrar-es pot utilitzar la segona caracterització esmentada a dalt. En efecte, 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 i 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.
Els números obtinguts són 15 i 511. Les descomposicions en factors primers d'aquests nombres són 3 * 5 i 7 * 73 respectivament, de manera que mcd (15,511) = 1.
Com es pot notar, utilitzar la segona caracterització és un treball més llarg i treballós que verificar directament.
7.- Considereu els nombres -22 i -27. Llavors aquests números es poden reescriure com segueix: -22 = -2 * 11 i -27 = -3³. Per tant, el mcd (-22, -27) = 1, així que -22 i -27 són primers relatius.
referències
- Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Introducció a la Teoria de Nombres. EUNED.
- Bourdon, PL (1843). Elements d'aritmètica. Llibreria dels Senyors Viuda é Hijos de Calleja.
- Castañeda, S. (2016). Curs bàsic de teoria de nombres. Universitat de el Nord.
- Guevara, MH (sf). El Conjunt dels Nombres Enters. EUNED.
- Institut Superior de Formació de l'Professorat (Espanya), JL (2004). Números, formes i volums a l'entorn de l'infant. Ministeri d'Educació.
- Palmer, CI, & Bibb, SF (1979). Matemàtiques pràctiques: aritmètica, àlgebra, geometria, trigonometria i regla de càlcul (reprint ed.). Reverte.
- Rock, NM (2006). Àlgebra I Is Easy! So Easy. Team Rock Press.
- Smith, SA (2000). Algebra. Pearson Educació.
- Szecsei, D. (2006). Basic Math and Pre-Algebra (illustrated ed.). Career Press.
- Toral, C., & Preciado, M. (1985). Curs de Matemàtiques 2n. Editorial Progrés.
- Wagner, G., Caicedo, A., & Colorado, H. (2010). Principis Bàsics d'Aritmètica. ELIZCOM SAS