QUÈ SÓN ELS LÍMITS TRIGONOMÈTRICS? (EXERCICIS RESOLTS) - MATEMÀTIQUES - 2025

Els límits trigonomètrics són límits de funcions tals que aquestes funcions estan formades per funcions trigonomètriques.

Hi ha dues definicions que han de ser conegudes per poder entendre com es realitza el càlcul d'un límit trigonomètric.

Aquestes definicions són:

- Límit d'una funció «f» quan «x» tendeix a «b»: consisteix a calcular el valor a el qual s'aproxima f (x) a mesura que «x» s'aproxima a «b», sense arribar a valer «b ».

- Funcions trigonomètriques: les funcions trigonomètriques són les funcions sinus, cosinus i tangent, denotades per sense (x), cos (x) i tan (x) respectivament.

Les altres funcions trigonomètriques s'obtenen a partir de les tres funcions esmentades anteriorment.

Límits de funcions

Per aclarir el concepte de límit d'una funció es procedirà a mostrar alguns exemples amb funcions senzilles.

- El límit de f (x) = 3 quan «x» tendeix a «8» és igual a «3», ja que la funció sempre és constant. No importa quant valgui «x», el valor de f (x) sempre serà «3».

- El límit de f (x) = x-2 quan «x» tendeix a «6» és «4». Ja que quan «x» s'aproxima a «6» llavors «x-2» s'aproxima a «6-2 = 4».

- El límit de g (x) = x² quan «x» tendeix a «3» és igual a 9, ja que quan «x» es va acostant a «3» llavors «x²» es va acostant a «3² = 9».

Com es pot notar en els exemples anteriors, calcular un límit consisteix a avaluar el valor a el qual tendeix «x» en la funció, i el resultat serà el valor de el límit, encara que això és cert només per a funcions contínues.

Hi ha límits més complicats?

La resposta és si. Els exemples anteriors són els exemples més senzills de límits. En els llibres de càlcul, els principals exercicis de límits són els que generen una indeterminació de l'tipus 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 i (∞) ^ 0.

Aquestes expressions són cridades indeterminacions ja que són expressions que matemàticament no tenen sentit.

A més de que, depenent de les funcions involucrades en el límit original, el resultat obtingut a l'resoldre les indeterminacions pot ser diferent en cada cas.

Exemples de límits trigonomètrics senzills

Per resoldre límits, sempre és molt útil conèixer les gràfiques de les funcions involucrades. A continuació es mostren les gràfiques de les funcions sinus, cosinus i tangent.

Alguns exemples de límits trigonomètrics senzills són:

- Calculeu el límit de sin (x) quan «x» tendeix a «0».

A l'veure la gràfica es pot apreciar que si «x» es va acostant a «0» (tant per l'esquerra com per la dreta), llavors la gràfica de el si es va acostant també a «0». Per tant, el límit de sin (x) quan «x» tendeix a «0» és «0».

- Calculeu el límit de cos (x) quan «x» tendeix a «0».

Observant la gràfica de l'cosinus s'aprecia que quan «x» és a prop de «0» llavors la la gràfica de l'cosinus és a prop de «1». Això implica que el límit de cos (x) quan «x» tendeix a «0» és igual a «1».

Un límit pot existir (ser un nombre), com succeeix en els exemples anteriors, però també pot passar que no hi hagi com es mostra en el següent exemple.

- El límit de tan (x) quan «x» tendeix a «Π / 2» per l'esquerra és igual a «+ ∞», com es pot veure a la gràfica. D'altra banda, el límit de tan (x) quan «x» tendeix a «-Π / 2» per la dreta és igual a «-∞».

Identitats de Límits trigonomètrics

Dues identitats molt útils quan s'estan calculant límits trigonomètrics són:

- El límit de «sense (x) / x» quan «x» tendeix a «0» és igual a «1».

- El límit de «(1-cos (x)) / x» quan «x» tendeix a «0» és igual a «0».

Aquestes identitats s'utilitzen molt sovint quan es té algun tipus d'indeterminació.

exercicis resolts

Solució de límits utilitzant les identitats descrites a dalt.

- Calculeu el límit de «f (x) = sin (3x) / x» quan «x» tendeix a «0».

Si s'avalua la funció «f» en «0» s'obtindrà una indeterminació de l'tipus 0/0. Per tant, cal intentar resoldre aquesta indeterminació utilitzant les identitats descrites.

L'única diferència entre aquest límit i la identitat és el número 3 que apareix dins de la funció si. Per poder aplicar la identitat s'ha de reescriure la funció «f (x)» de la següent manera «3 * (sense (3x) / 3x)». Ara, tant l'argument el si com el denominador són iguals.

De manera que quan «x» tendeix a «0», utilitzant la identitat resulta «3 * 1 = 3». Per tant, el límit de f (x) quan «x» tendeix a «0» és igual a «3».

- Calculeu el límit de «g (x) = 1 / x - cos (x) / x» quan «x» tendeix a «0».

Quan se substitueix «x = 0» en g (x) s'obté una indeterminació de l'tipus ∞-∞. Per resoldre-la primer es resten les fraccions, la qual cosa dóna com a resultat «(1-cos (x)) / x».

Ara, a l'aplicar la segona identitat trigonomètrica es té que el límit de g (x) quan «x» tendeix a «0» és igual a 0.

- Calculeu el límit de «h (x) = 4tan (5x) / 5x» quan «x» tendeix a «0».

Novament si s'avalua h (x) en «0» s'obtindrà una indeterminació de l'tipus 0/0.

Reescrivint tan (5x) com sense (5x) / cos (5x) resulta que h (x) = (sense (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Utilitzant que el límit de 4 / cos (x) quan «x» tendeix a «0» és igual a «4/1 = 4» i la primera identitat trigonomètrica s'obté que el límit de h (x) quan «x» tendeix a «0» és igual a «1 * 4 = 4».

observació

Els límits trigonomètrics no són sempre fàcils de resoldre. En aquest article només es van mostrar exemples bàsics.

referències

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus mathematics: a problem-solving approach (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Àlgebra i trigonometria amb geometria analítica. Pearson Educació.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 ed.). Cengage Learning.
5. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Geometria Analítica Plana. Mèrida - Veneçuela: Editorial Veneçolana CA
6. Pérez, CD (2006). Precàlcul. Pearson Educació.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, ES (2007). Càlcul (Novena ed.). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Càlcul Diferencial amb funcions transcendents primerenques per a Ciències i Enginyeria (Segona Edició ed.). Hipotenusa.
9. Scott, CA (2009). Cartesian Plane Geometry, Part: Analytical Conics (1907) (reprint ed.). Lightning Source.
10. Sullivan, M. (1997). Precàlcul. Pearson Educació.