QUÈ SÓN LES EQUACIONS SIMULTÀNIES? (EXERCICIS RESOLTS) - MATEMÀTIQUES - 2025

Les equacions simultànies són aquelles equacions que han de complir-se a el mateix temps. Per tant, per tenir equacions simultànies s'ha de tenir més d'una equació.

Quan es tenen dos o més equacions diferents, les quals han de tenir la mateixa solució (o les mateixes solucions), es diu que es té un sistema d'equacions o també es diu que s'han equacions simultànies.

Quan es tenen equacions simultànies pot succeir que aquestes no tinguin solucions comuns o tinguin una quantitat finita o tinguin una quantitat infinita.

equacions Simultànies

Donades dues equacions diferents EQ1 i Eq2, s'ha del sistema d'aquestes dues equacions és anomenat equacions simultànies.

Les equacions simultànies compleixen que si S és una solució de EQ1 llavors S també és solució de Eq2 i viceversa

Característiques

Quan es tracta d'un sistema d'equacions simultànies es poden tenir 2 equacions, 3 equacions o N equacions.

Els mètodes més comuns que s'utilitzen per resoldre equacions simultànies són: substitució, igualació i reducció. També existeix un altre mètode anomenat la regla de Cramer, el qual és molt útil per a sistemes de més de dues equacions simultànies.

Un exemple d'equacions simultànies és el sistema

EQ1: x + y = 2

Eq2: 2x-i = 1

Es pot notar que x = 0, i = 2 és solució de EQ1 però no és solució de Eq2.

L'única solució comú que tenen les dues d'equacions és x = 1, i = 1. És a dir, x = 1, i = 1 és la solució de sistema d'equacions simultànies.

exercicis Resolts

A continuació es procedeix a resoldre el sistema d'equacions simultànies mostrat anteriorment, a través dels 3 mètodes esmentats.

primer Exercici

Resoldre el sistema d'equacions EQ1: x + i = 2, Eq2 = 2x-i = 1 utilitzant el mètode de substitució.

solució

El mètode de substitució consisteix en aïllar una de les incògnites d'una de les equacions i després substituir-la en l'altra equació. En aquest cas particular, es pot aclarir «i» de EQ1 i s'obté que i = 2-x.

A l'substituir aquest valor de «i» en Eq2 s'obté que 2x- (2-x) = 1. Per tant, s'obté que 3x-2 = 1, és a dir que x = 1.

Després, ja que és conegut el valor de x, es substitueix en «i» i s'obté que i = 2-1 = 1.

Per tant, l'única solució de sistema d'equacions simultànies EQ1 i Eq2 és x = 1, i = 1.

segon Exercici

Resoldre el sistema d'equacions EQ1: x + i = 2, Eq2 = 2x-i = 1 utilitzant el mètode d'igualació.

solució

El mètode d'igualació consisteix a aïllar la mateixa incògnita de les dues equacions i després igualar les equacions resultants.

Si aïllem «x» de les dues equacions s'obté que x = 2-i, i que x = (1 + i) / 2. Ara, s'igualen aquestes dues equacions i s'obté que 2-i = (1 + i) / 2, d'on resulta que 4-2y = 1 + i.

Agrupant la incògnita «i» d'una mateixa banda resulta que i = 1. Ara que ja es coneix «i» es procedeix a trobar el valor de «x». A l'substituir i = 1 s'obté que x = 2-1 = 1.

Per tant, la solució comuna entre les equacions EQ1 i Eq2 és x = 1, i = 1.

tercer Exercici

Resoldre el sistema d'equacions EQ1: x + i = 2, Eq2 = 2x-i = 1 utilitzant el mètode de reducció.

solució

El mètode de reducció consisteix a multiplicar les equacions donades pels coeficients adequats, perquè a l'sumar aquestes equacions una de les variables es cancel·li.

En aquest exemple particular no cal multiplicar cap equació per cap coeficient, només n'hi ha prou sumar-les. A l'sumar EQ1 més Eq2 s'obté que 3x = 3, d'on s'obté que x = 1.

A l'avaluar x = 1 en EQ1 s'obté que 1 + i = 2, d'on resulta que i = 1.

Per tant, x = 1, i = 1 és l'única solució de les equacions simultànies EQ1 i Eq2.

quart Exercici

Resoleu el sistema d'equacions simultànies EQ1: 2x-3y = 8 i Eq2: 4x-3y = 12.

solució

En aquest exercici no s'exigeix ​​cap mètode particular, per tant es pot aplicar el mètode que resulti més còmode per a cada lector.

En aquest cas es procedirà a utilitzar el mètode de reducció. A l'multiplicar EQ1 per -2 s'obté l'equació EQ3: -4x + 6y = -16. Ara, a l'sumar EQ3 i Eq2 s'obté que 3i = -4, per tant i = -4 / 3.

Ara, a l'avaluar i = -4/3 en EQ1 s'obté que 2x-3 (-4/3) = 8, d'on 2x + 4 = 8, per tant, x = 2.

En conclusió, l'única solució de sistema d'equacions simultànies EQ1 i Eq2 és x = 2, i = -4 / 3.

observació

Els mètodes descrits en aquest article poden aplicar-se a sistemes amb més de dues equacions simultànies.

Com més equacions i més incògnites hagi, el procediment per resoldre el sistema és més complicat.

Qualsevol mètode de resolució de sistemes d'equacions llançarà les mateixes solucions, és a dir, les solucions no depenen de l'mètode que s'apliqui.

referències

1. Fonts, A. (2016). MATEMÀTIQUES BÀSIQUES. Una Introducció a l'Càlcul. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Mathematics: quadratic equations.: How solve a quadratic equation. Marilú Garo.
3. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matemàtiques per a administració i economia. Pearson Educació.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matemàtiques 1 SET. Llindar.
5. Preciado, CT (2005). Curs de Matemàtiques 3r. Editorial Progrés.
6. Rock, NM (2006). Àlgebra I Is Easy! So Easy. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Àlgebra i Trigonometria. Pearson Educació.