- Propietats dels nombres capicua
- Successions capicua
- dates capicúas
- desafiaments capicua
- Endevina el nombre de la butlleta
- Endevina quin nombre sóc
- Quants capicúas hi ha entre 100 i 200?
- Números de Lychrel
- referències
Un nombre capicua és el que es llegeix igual d'esquerra a dreta, que de dreta a esquerra. La Real Acadèmia Espanyola reserva la paraula palíndrom quan es tracta d'una frase, oració o paraula que es llegeix igual en tots dos sentits.
Exemples de nombres capicua són: 2002, 11, 121, 34543. I com a exemples de paraules palíndromas són: ull, ana, sols. Allà veus a Sevilla, és una frase palíndroma.
Figura 1. Alguns números capicua. Font: F. Zapata.
La paraula capicua s'origina de l'català: cap i cua que significa cap i cua, i s'aplica exclusivament a les xifres numèriques que es llegeixen igual en tots dos sentits.
A aquestes xifres se'ls crida també números palíndroms, tot i que "palíndrom" s'usa majorment en referència a paraules o frases que es llegeixen igual a el dret i a l'inrevés.
En l'idioma anglès no hi ha la paraula capicua, de manera que a aquest tipus de nombres se'ls denomina "palindromic numbers".
Propietats dels nombres capicua
1.- Tot nombre d'un dígit es considera capicua: 0 és capicua, 5 és capicua, i així en endavant.
2.- Els números capicua formen una successió de dígits, de manera que el primer i l'últim són iguals, el segon i el penúltim són iguals i així successivament.
En 1234321, el primer és igual a l'últim, el segon és igual a el penúltim, el tercer igual a l'antepenúltim i el central igual a si mateix.
3.- Si el nombre de dígits d'un nombre capicua és imparell, llavors el dígit central és el centre de simetria, de manera que els dígits que estiguin a la mateixa distància respecte a l'dígit central són iguals.
Considerem 73.137, en aquest número l'1 és el dígit central i centre de simetria, el 3 està a la distància un el dígit central i el 7 està a distància dues de el dígit central en ambdues direccions.
4.- Si el nombre de dígits és parell, el centre de simetria és l'espai que divideix igual nombre de dígits a la dreta que a l'esquerra.
Els dígits que estiguin a la mateixa distància (o passos) respecte a l'esmentat centre són necessàriament iguals.
Per exemple: 731.137, en aquest número el centre de simetria està en l'espai entre els dos nombres 1. Els altres dígits s'ubiquen simètricament a banda i banda d'aquest centre.
5.- Un nombre capicua amb un nombre de xifres parell és divisible per 11:
6666 ÷ 11 = 606
3223 ÷ 11 = 293
6.- Es pot obtenir un nombre capicua sumant qualsevol nombre amb el seu revers successives vegades fins a obtenir un capicua:
45 + 54 = 99
75 + 57 = 132 → 132 + 231 = 363
913 + 319 = 1232 → 1232 + 2321 = 3553
7.- Entre el 10 i el 99 hi ha 9 números capicua. Entre el 100 i el 999 hi ha 93 capicues, entre els quals es troba el 666 conegut com el nombre de la bèstia, associat a l'dimoni.
Successions capicua
8.- Una successió amb un nombre finit de termes és capicua si els termes equidistants són iguals: {a 0, a 1,…, a i,…, a n-1, a n } és capicua si a i = a n -1.
9.- Quan la suma dels n elements d'una progressió geomètrica, que comença a 1 i té raó r, s'eleva a una exponent natural, els coeficients del seu desenvolupament generen una successió capicua.
Per exemple, considerem la progressió geomètrica de raó r quatre elements elevada a l'exponent 3:
(1 + R ¹ + r² + R³ + r⁴) ³
El desenvolupament d'aquesta expressió és
r¹² + 3r¹¹ + 6r¹⁰ + 10r⁹ + 15r⁸ + 18r⁷ + 19 r⁶ + 18r⁵ + 15r⁴ + 10r³ + 6r² + 3r +1
Si es forma la successió dels coeficients en forma ordenada ens queda
{1, 3, 6, 10, 15, 18, 19, 18, 15, 10, 6, 3, 1}
Que és una successió capicua.
dates capicúas
El diumenge 2 de febrer de l'any 2020 va ser batejat com el "dia de l'palíndrom", durant aquesta setmana l'etiqueta #PalindromeDay va ser tendència a les xarxes.
La raó és que aquesta data és capicua en el format dia / mes / any, en el format mes / dia / any, o en el format any / mes / dia:
2020.02.02
2020/02/02
La data anterior a aquesta, en la qual es donava la coincidència de data capicua independent de el format, va ocórrer 908 anys dos mesos i 22 dies abans, i va ser el 11 de novembre de l'any 1111, és a dir 1111.11.11.
La propera data capicua independent de el format de 101 anys, 10 mesos i 10 dies després de l'assenyalat dia: 2121.12.12
En el format dia / mes / any, el capicua anterior a l'#PalindromeDay va ser fa 10 anys i un dia: 01/02/2010, mentre que el següent serà 1 any i 10 dies després: el 2021.02.12.
Per als creients en la superstició, les data capicúas solen representar fatalitat o bona sort. En l'Antiga Grècia es creia que aquestes dates podien es apocalíptiques.
De la mateixa manera les butlletes de loteria amb nombres capicua, es consideren de bona sort i els aficionats els col·leccionen.
Figura 2. Les butlletes capicua, es consideren de bona sort i són objecte de col·lecció. Font: Wikimedia Commons.
desafiaments capicua
Endevina el nombre de la butlleta
La butlleta de la sort té una xifra capicua. La suma dels seus cinc dígits, dóna el mateix resultat que si se'ls multiplica. El primer dígit és l'edat de la meva germana petita, les dues següents l'edat de la germana mitjana i les dues últimes les de la germana gran, la qual li porta més d'un any a la mitjana.
Endevina quin nombre sóc
Tinc quatre xifres, sóc capicua, alguns em veuen com si fos un 9 i entre el 2 i el 10 només tinc un divisor.
a.- 1111, b.- 1001, c.- 2002, d.- 1221, i.- 2112
Quants capicúas hi ha entre 100 i 200?
a.- 5, b 7, c 10, d.- 52, i.- 89
Números de Lychrel
Anteriorment es va dir que es pot obtenir un nombre capicua sumant qualsevol nombre amb el seu revers successives vegades fins a obtenir un capicua.
Sembla que aquesta regla té les seves excepcions per a certs nombres anomenats números de Lychrel, dels quals no s'ha provat l'existència d'alguns, potser perquè cal fer un nombre de proves molt grans abans d'obtenir un capicua. Un candidat a nombre de Lychrel és 196.
Com a repte li donem el número 89 que després d'invertir-i sumar, tornar a sumar amb el resultat invertit i repetir aquest procés 24 vegades s'obté un capicua. Pot dir quin és aquest capicua?
a.- 1883200023881
b.- 8183200023818
c.- 8812300032188
d.- 8813200023188
e.- 88131100113188
referències
- BBC Món. 2020.02.02: per què li diuen a aquesta insòlita data el «dia de l'palíndrom» i quin és el seu nom correcte. Recuperat de: bbc.com/mundo/noticias.
- López Lasala JL El racó de la ciència. Passatemps capicua. Recuperat de: rincondelaciencia.educa.madrid.org
- Mathmax. Passatemps matemàtics. Recuperat de: easymathforallblog.wordpress.com/
- Matemàtiques i Poesia. Jocs i entreteniments. Recuperat de: matemàtiques i poesia.com.es
- Wikipedia. Capicua. Recuperat de: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Palindromic number. Recuperat de: en.wikipedia.com