La propietat modulativa és la que permet efectuar operacions amb els números sense alterar el resultat de la igualtat. Això és particularment útil més endavant en l'àlgebra, ja que multiplicar o sumar per factors que no alteren el resultat, permet la simplificació d'algunes equacions.
Per a la suma i la resta, sumar zero no altera el resultat. En el cas de la multiplicació i divisió, multiplicar o dividir per un tampoc altera el resultat. Per exemple, sumar 5 a 0 segueix sent 5. Multiplicar 1000 per 1 segueix sent 1000.
Els factors zero per a la suma i un per a la multiplicació són modulars per a aquestes operacions. Les operacions aritmètiques posseeixen diverses propietats a més de la propietat modulativa, les quals contribueixen a la solució de problemes matemàtics.
Operacions aritmètiques i la propietat modulativa
Les operacions aritmètiques són la suma, resta multiplicació i divisió. Treballarem amb el conjunt dels nombres naturals.
suma
La propietat anomenada element neutre ens permet afegir un sumand sense alterar el resultat. Això ens diu que el zero és l'element neutre de la suma.
Com a tal, es diu que és el mòdul de la suma i d'aquí el nom de propietat modulativa.
Per exemple:
(3 + 5) + 9 + 4 + 0 = 21
4 + 5 + 9 + 3 + 0 = 21
2 + 3 + 0 = 5
1000 + 8 + 0 = 1008
500 + 0 = 500
233 + 1 + 0 = 234
25000 + 0 = 25000
1623 + 2 + 0 = 1625
400 + 0 = 400
869 + 3 + 1 + 0 = 873
78 + 0 = 78
542 + 0 = 542
36750 + 0 = 36750
789 + 0 = 789
560 + 3 + 0 = 563
1500000 + 0 = 1500000
7500 + 0 = 7500
658 + 0 = 658
345 + 0 = 345
13562000 + 0 = 13562000
500000 + 0 = 500000
322 + 0 = 322
14600 + 0 = 14600
900000 + 0 = 900000
La propietat modulativa també es compleix per als nombres enters:
(-3) +4+ (-5) = (-3) +4+ (-5) +0
(-33) + (- 1) = (-33) + (- 1) + 0
-1 + 35 = -1 + 35 + 0
260000 + (- 12) = 260000 + (- 12) + 0
(-500) +32 + (- 1) = (-500) +32 + (- 1) + 0
1750000 + (- 250) = 1750000 + (- 250) + 0
350000 + (- 580) + (- 2) = 350000 + (- 580) + (- 2) + 0
(-78) + (- 56.809) = (-78) + (- 56.809) + 0
8 + 5 + (- 58) = 8 + 5 + (- 58) + 0
689 + 854 + (- 78900) = 689 + 854 + (- 78900) + 0
1 + 2 + (- 6) + 7 = 1 + 2 + (- 6) + 7 + 0
I, de la mateixa manera, per als nombres racionals:
2/5 + 3/4 = 2/5 + 3/4 + 0
5/8 + 4/7 = 5/8 + 4/7 + 0
½ + 1/4 + 2/5 = ½ + 1/4 + 2/5 + 0
'1/3 + 1/2 = 1/3 de + 1/2 + 0
7/8 + 1 = 7/8 + 1 + 0
3/8 + 5/8 = 3/8 + 5/8 + 0
7/9 + 2/5 + 1/2 = 7/9 + 2/5 + 1/2 + 0
3/7 + 12/133 = 3/7 + 12/133 + 0
6/8 + 2 + 3 = 6/8 + 2 + 3 + 0
233/135 + 85/9 = 233/135 + 85/9 + 0
9/8 + 1/3 + 7/2 = 9/8 + 1/3 + 9/8 + 0
1236/122 + 45/89 = 1236/122 + 45/89 + 0
24362/745 + 12000 = 24635/745 + 12000 + 0
També per als irracionals:
e + √2 = e + √2 + 0
√78 + 1 = √78 + 1 + 0
√9 + √7 + √3 = √9 + √7 + √3 + 0
√7120 + i = √7120 + e + 0
√6 + √200 = √6 + √200 + 0
√56 + 1/4 = √56 + 1/4 + 0
√8 + √35 + √7 = √8 + √35 + √7 + 0
√742 + √3 + 800 = √742 + √3 + 800 + 0
V18 / 4 + √7 / 6 = √18 / 4 + √7 / 6 + 0
√3200 + √3 + √8 + √35 = √3200 + √3 + √8 + √35 + 0
√12 + i + √5 = √12 + e + √5 + 0
√30 / 12 + i / 2 = √30 / 12 + i / 2
√2500 + √365000 = √2500 + √365000 + 0
√170 + √13 + e + √79 = √170 + √13 + e + √79 + 0
I així mateix per a tots els reals.
2,15 + 3 = 2,15 + 3 + 0
144,12 + 19 + √3 = 144,12 + 19 + √3 + 0
788.500 + 13,52 + 18,70 + 1/4 = 788.500 + 13,52 + 18,70 + 1/4 + 0
3,14 + 200 + 1 = 3,14 + 200 + 1 + 0
2,4 + 1,2 + 300 = 2,4 + 1,2 + 300 + 0
√35 + 1/4 = √35 + 1/4 + 0
i + 1 = i + 1 + 0
7,32 + 12 + 1/2 = 7,32 + 12 + 1/2 + 0
200 + 500 + 25,12 = 200 + 500 + 25,12 + 0
1000000 + 540,32 +1 / 3 = 1000000 + 540,32 + 1/3 +0
400 + 325,48 + 1,5 = 400 + 325 + 1,5 + 0
1200 + 3,5 = 1200 + 3,5 + 0
resta
Aplicant la propietat modulativa, a l'igual que a la suma, el zero no altera el resultat de la resta:
4-3 = 4-3-0
8-0-5 = 8-5-0
800-1 = 800-1-0
1500-250-9 = 1500-250-9-0
Es compleix per als enters:
-4-7 = -4-7-0
78-1 = 78-1-0
4500000-650000 = 4500000-650000-0
-45-60-6 = -45-60-6-0
-760-500 = -760-500-0
4750-877 = 4750-877-0
-356-200-4 = 356-200-4-0
45-40 = 45-40-0
58-879 = 58-879-0
360-60 = 360-60-0
1.250.000-1 = 1250000-1-0
3-2-98 = 3-2-98-0
10000-1000 = 10000-1000-0
745-232 = 745-232-0
3800-850-47 = 3800-850-47-0
Per als racionals:
3 / 4-2 / 4 = 3 / 4-2 / 4-0
120 / 89-1 / 2 = 120 / 89-1 / 2-0
1 / 32-1 / 7-1 / 2 = 1 / 32-1 / 7-1 / 2-0
20 / 87-5 / 8 = 20 / 87-5 / 8-0
132 / 36-1 / 4-1 / 8 = 132 / 36-1 / 4-1 / 8
2 / 3-5 / 8 = 2 / 3-5 / 8-0
1 / 56-1 / 7-1 / 3 = 1 / 56-1 / 7-1 / 3-0
25 / 8-45 / 89 = 25 / 8-45 / 89 -0
3 / 4-5 / 8-6 / 74 = 3 / 4-5 / 8-6 / 74-0
5 / 8-1 / 8-2 / 3 = 5 / 8-1 / 8-2 / 3-0
1 / 120-1 / 200 = 1 / 120-1 / 200-0
1 / 5000-9 / 600-1 / 2 = 1 / 5000-9 / 600-1 / 2-0
3 / 7-3 / 4 = 3 / 7-3 / 4-0
També per als irracionals:
Π-1 = Π-1-0
e-√2 = e-√2-0
√3-1 = √-1-0
√250-√9-√3 = √250-√9-√3-0
√85-√32 = √85-√32-0
√5-√92-√2500 = √5-√92-√2500
√180-12 = √180-12-0
√2-√3-√5-√120 = √2-√3-√5-120
15-√7-√32 = 15-√7-√32-0
V2 / √5-√2-1 = √2 / √5-√2-1-0
√18-3-√8-√52 = √18-3-√8-√52-0
√7-√12-√5 = √7-√12-√5-0
√5-i / 2 = √5-i / 2-0
√15-1 = √15-1-0
√2-√14-i = √2-√14-i-0
I, en general, per als reals:
π -i = π-i-0
-12-1,5 = -12-1,5-0
100000-1 / 3-14,50 = 100000-1 / 3-14,50-0
300-25-1,3 = 300-25-1,3-0
4,5-2 = 4,5-2-0
-145-20 = -145-20-0
3,16-10-12 = 3,16-10-12-0
π-3 = π-3-0
π / 2- π / 4 = π / 2- π / 4-0
325,19-80 = 329,19-80-0
-54,32-10-78 = -54,32-10-78-0
-10.000-120 = -10000-120-0
-58,4-6,52-1 = -58,4-6,52-1-0
-312,14-√2 = -312,14-√2-0
multiplicació
Aquesta operació matemàtica també té el seu element neutre o propietat modulativa:
3x7x1 = 3 × 7
(5 × 4) x3 = (5 × 4) x3x1
El qual és el número 1, ja que no altera el resultat de la multiplicació.
Això es compleix també per als enters:
2 × 3 = -2x3x1
14000 × 2 = 14000x2x1
256x12x33 = 256x14x33x1
1450x4x65 = 1450x4x65x1
12 × 3 = 12x3x1
500 × 2 = 500x2x1
652x65x32 = 652x65x32x1
100x2x32 = 100x2x32x1
10000 × 2 = 10000x2x1
4x5x3200 = 4x5x3200x1
50000x3x14 = 50000x3x14x1
25 × 2 = 25x2x1
250 × 36 = 250x36x1
1500000 × 2 = 1500000x2x1
478 × 5 = 478x5x1
Per als racionals:
(2/3) x1 = a 2/3
(1/4) x (2/3) = (1/4) x (2/3) x1
(3/8) x (5/8) = (3/8) x (5/8) x1
(12/89) x (1/2) = (12/89) x (1/2) x1
(3/8) x (7/8) x (6/7) = (3/8) x (7/8) x (6/7) x 1
(1/2) x (5/8) = (1/2) x (5/8) x 1
1 x (15/8) = 15/8
(4/96) x (1/5) x (1/7) = (4/96) x (1/5) x (1/7) x1
(1/8) x (1/79) = (1/8) x (1/79) x 1
(200/560) x (2/3) = (200/560) x 1
(9/8) x (5/6) = (9/8) x (5/6) x 1
Per als irracionals:
ex 1 = i
√2 x √6 = √2 x √6 x1
√500 x 1 = √500
√12 x √32 x √3 = V√12 x √32 x √3 x 1
√8 x 1/2 = √8 x 1/2 x1
√320 x √5 x √9 x √23 = √320 x √5 √9 x √23 x1
√2 x 5/8 = √2 x5 / 8 x1
√32 x √5 / 2 = √32 + √5 / 2 x1
ex √2 = ex √2 x 1
(Π / 2) x (3/4) = (π / 2) x (34) x 1
π x √3 = π x √3 x 1
I finalment per als reals:
2,718 × 1 = 2,718
-325 x (-2) = -325 x (-2) x1
10000 x (25,21) = 10000 x (25,21) x 1
-2012 x (-45,52) = -2012 x (-45,52) x 1
-13,50 x (-π / 2) = 13,50 x (-π / 2) x 1
-π x √250 = -π x √250 x 1
-√250 x (1/3) x (190) = -√250 x (1/3) x (190) x 1
- (√3 / 2) x (√7) = - (√3 / 2) x (√7) x 1
-12,50 x (400,53) = 12,50 x (400,53) x 1
1 x (-5.638,12) = -5.638,12
210,69 x 15,10 = 210,69 x 15,10 x 1
divisió
L'element neutre de la divisió és a l'igual que a la multiplicació, el nombre 1. Una quantitat donada dividida entre 1 donarà el mateix resultat:
34 ÷ 1 = 34
7 ÷ 1 = 7
200000 ÷ 1 = 200000
o el que és el mateix:
200000/1 = 200000
Això es compleix per a cada sencer:
8/1 = 8
250/1 = 250
1000000/1 = 1000000
36/1 = 36
50000/1 = 50000
1/1 = 1
360/1 = 360
24/1 = 24
2500000/1 = 250000
365/1 = 365
I també per a cada racional:
(3/4) ÷ 1 = 3/4
(3/8) ÷ 1 = 3/8
(1/2) ÷ 1 = 1/2
(47/12) ÷ 1 = 47/12
(5/4) ÷ 1 = 5/4
(700/12) ÷ 1 = 700/12
(1/4) ÷ 1 = 1/4
(7/8) ÷ 1 = 7/8
Per a cada nombre irracional:
π / 1 = π
(Π / 2) / 1 = π / 2
(√3 / 2) / 1 = √3 / 2
√120 / 1 = √120
√8500 / 1 = √8500
√12 / 1 = √12
(Π / 4) / 1 = π / 4
I, en general, per a tot nombre real:
3,14159 / 1 = 3,14159
-18/1 = -18
16,32 ÷ 1 = 16,32
-185.000,23 ÷ 1 = -185.000,23
-10.000,40 ÷ 1 = -10.000,40
156,30 ÷ 1 = 156,30
900000, 10 ÷ 1 = 900.000,10
1,325 ÷ 1 = 1,325
La propietat modulativa és essencial en les operacions algebraiques, atès que l'artifici de multiplicar o dividir per un element algebraic el valor sigui 1, no altera l'equació.
No obstant això, sí que pot simplificar les operacions amb les variables a manera d'obtenir una expressió més senzilla i aconseguir resoldre equacions d'una manera més fàcil.
En general, totes les propietats matemàtiques són necessàries per a l'estudi i desenvolupament d'hipòtesis i teories científiques.
El nostre món està ple de fenòmens que són observats i estudiats constantment pels científics. Aquests fenòmens s'expressen amb models matemàtics per facilitar la seva anàlisi i posterior comprensió.
D'aquesta manera es pot predir comportaments futurs, entre altres aspectes, la qual cosa porta grans beneficis que milloren la manera de vida de les persones.
referències
- Definició de nombres naturals. Recuperat de: definicion.de.
- Divisió de nombres enters. Recuperat de: vitutor.com.
- Exemple de Propietat modulativa. Recuperat de: ejemplode.com.
- Els nombres naturals. Recuperat de: gcfaprendelibre.org.
- Matemàtiques 6. Recuperat de: colombiaaprende.edu.co.
- Math properties. Recuperat de: wikis.engrade.com.
- Propietats de la multiplicació: associativa, commutativa i distributiva. Recuperat de: portaleducativo.net.
- Propietats de la suma. Recuperat de: gcfacprendelibre.org.