El gravicentro és una definició que és molt utilitzada en geometria quan s'està treballant amb triangles.
Per comprendre la definició de gravicentro cal primer conèixer la definició de «mitjanes» d'un triangle.
Les mitjanes d'un triangle són els segments de recta que parteixen en cada vèrtex i arriben a el punt mig de la banda oposada a aquest vèrtex.
El punt d'intersecció de les tres mitjanes d'un triangle és cridada baricentre o també és conegut com gravicentro.
No n'hi ha prou amb només conèixer la definició, és interessant saber com es calcula aquest punt.
Càlcul de l'Baricentro
Donat un triangle ABC amb vèrtexs A = (x1, y1), B = (x2, y2) i C = (x3, i 3), s'ha del gravicentro és la intersecció de les tres mitjanes d'el triangle.
Una fórmula ràpida que permet el càlcul de l'gravicentro d'un triangle, sent conegudes les coordenades dels seus vèrtexs és:
G = ((x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3).
Amb aquesta fórmula es pot saber la ubicació de l'gravicentro en el pla cartesià.
Característiques de l'Gravicentro
No cal traçar les tres mitjanes d'el triangle, ja que a l'traçar dues d'elles quedarà evidenciat on és el gravicentro.
El gravicentro divideix cada mitjana en 2 parts la proporció és 2: 1, és a dir, els dos segments de cada mitjana queden dividits en segments de longituds 2/3 i 1/3 de la longitud total, sent la distància més gran la que hi ha entre li vèrtex i el gravicentro.
La següent imatge il·lustra millor aquesta propietat.
La fórmula per al càlcul de l'gravicentro és molt senzilla d'aplicar. La forma d'obtenir aquesta fórmula és calculant les equacions de recta que defineixen cada mitjana i després trobar el punt de tall d'aquestes rectes.
exercicis
A continuació es presenta una petita llista de problemes sobre el càlcul de l'baricentre.
1.- Donat un triangle de vèrtexs A = (0,0), B = (1,0) i C = (1,1), calculi el gravicentro d'aquest triangle.
Utilitzant la fórmula donada, es pot concloure ràpidament que el gravicentro de el triangle ABC és:
G = ((0 + 1 + 1) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (2/3, 1/3).
2.- Si un triangle té vèrtexs A = (0,0), B = (1,0) i C = (1 / 2,1), quines són les coordenades de l'gravicentro?
Ja que són coneguts els vèrtexs d'el triangle es procedeix a aplicar la fórmula per al càlcul de l'gravicentro. Per tant, el gravicentro té coordenades:
G = ((0 + 1 + 1/2) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (1/2, 1/3).
3.- Calculeu els possibles gravicentros per a un triangle equilàter tal que dos dels seus vèrtexs són A = (0,0) i B = (2,0).
En aquest exercici només s'estan especificant dos vèrtexs de el triangle. Per poder troba els possibles gravicentros s'ha de primer calcular el tercer vèrtex d'el triangle.
Ja que el triangle és equilàter i la distància entre A i B és 2, s'ha de el tercer vèrtex C, ha d'estar a distància 2 de A i de B.
Utilitzant el fet que en un triangle equilàter l'altura coincideix amb la mitjana i més utilitzant el teorema de Pitàgores, es pot concloure que les opcions per a les coordenades de l'tercer vèrtex són C1 = (1, √3) o C2 = (1, - √3).
De manera que les coordenades dels dos possibles gravicentros són:
G1 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0 + √3) / 3) = (3/3, √3 / 3) = (1, √3 / 3), G2 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0-√3) / 3) = (3/3, -√3 / 3) = (1, -√3 / 3).
Gràcies als comptes anteriors també es pot notar que la mitjana quedo dividida en dues parts la proporció és 2: 1.
referències
- Landaverde, F. d. (1997). Geometria (Reprint ed.). Progrés.
- Leake, D. (2006). Triangles (illustrated ed.). Heinemann-Raintree.
- Pérez, CD (2006). Precàlcul. Pearson Educació.
- Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometries. Tecnologica de CR.
- Sullivan, M. (1997). Precàlcul. Pearson Educació.
- Sullivan, M. (1997). Trigonometria i Geometria Analítica. Pearson Educació.