PUNTS COPLANARS: EQUACIÓ, EXEMPLE I EXERCICIS RESOLTS - MATEMÀTIQUES - 2025

Els punts coplanars pertanyen tots a un mateix pla. Dos punts sempre són coplanars, ja que aquests punts defineixen una recta per la qual passen infinits plans. Llavors, tots dos punts pertanyen a cada un dels plans que passen per la recta i per tant, sempre seran coplanars.

D'altra banda, tres punts defineixen un únic pla, de la qual cosa se segueix que tres punts sempre seran coplanars a el plànol que ells determinen.

Figura 1. A, B, C i D són coplanars a el pla (Ω). I, F i G no són coplanars a (Ω) però si són coplanars a el plànol que ells tres defineixen. Font: F. Zapata.

Més de tres punts poden ser coplanars o no. Per exemple en la figura 1, els punts A, B, C i D són coplanars a el pla (Ω). Però E, F i G no són coplanars a (Ω), encara que sí són coplanars a el plànol que ells tres defineixen.

Equació d'un pla donat tres punts

L'equació d'un pla determinat per tres punts coneguts A, B, C és una relació matemàtica que garanteix que qualsevol punt P de coordenades genèriques (x, i, z) que compleixi l'equació pertany a aquest pla.

L'afirmació anterior és equivalent a dir que si P de coordenades (x, y, z) compleix l'equació de el pla, llavors aquest punt serà coplanar amb els tres punts A, B, C que van determinar el pla.

Per trobar l'equació d'aquest pla comencem per trobar els vectors AB i AC:

AB =

AC =

El producte vectorial AB X AC dóna com a resultat un vector perpendicular o normal a el pla determinat pels punts A, B, C.

Un punt P qualsevol de coordenades (x, y, z) pertany a l'pla si es compleix que el vector AP és perpendicular a el vector AB X AC, la qual cosa queda garantit si es compleix:

AP • (AB X AC) = 0

Això és equivalent a dir que el producte triple de AP, AB i AC sigui nul. L'equació anterior es pot escriure en forma matricial:

exemple

Siguin els punts A (0, 1, 2); B (1, 2, 3); C (7, 2, 1) i D (a, 0, 1). Quin valor ha de tenir a perquè els quatre punts siguin coplanars?

solució

Per trobar el valor de a és necessari que el punt D sigui part de el pla determinat per A, B i C, la qual cosa es garanteix si compleix l'equació de el pla.

Desenvolupant el determinant tenim:

L'equació anterior ens indica que a = -1 perquè es compleixi la igualtat. En altres paraules, l'única manera que el punt D (a, 0,1) sigui coplanar amb els punts A, B i C és que a valgui -1. En cas contrari no serà coplanar.

exercicis resolts

- Exercici 1

Un pla intersecta als eixos cartesians X, Y, Z en 1, 2 i 3 respectivament. La intersecció d'aquest pla amb els eixos determina els punts A, B i C. Trobar la component Dz d'un punt D, les components cartesianes són:

A condició que D sigui coplanar amb els punts A, B i C.

solució

Quan es coneixen les intercepcions d'un pla amb els eixos cartesians, pot usar-se la forma segmentària de l'equació de el pla:

x / 1 + i / 2 + z / 3 = 1

Com el punt D ha de pertànyer a l'àmbit anterior, s'ha de:

-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1

És a dir:

-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1

Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½

Dz (-1 / 6⅙) = ½

Dz = -3

De l'anterior es desprèn que el punt D (3, -2, -3) és coplanar amb els punts A (1, 0, 0); B (0, 2, 0) i C (0, 0, 3).

- Exercici 2

Determineu si els punts A (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) i D (2, 3, 1) són coplanars.

solució

Formem la matriu les files són les coordenades de DA, BA, i CA. Després es calcula el determinant i es verifica si és o no zero.

Després d'efectuar tots els càlculs, es conclou que sí que són coplanars.

- Exercici 3

Es donen dues rectes en l'espai. Una d'elles és la recta (R) l'equació paramètrica és:

I l'altra és la recta (S) d'equació:

Demostreu que (R) i (S) són rectes coplanàries, és a dir, es troben en un mateix pla.

solució

Comencem prenent arbitràriament dos punts en la recta (R) i dos a la recta (S):

Recta (R): λ = 0; A (1, 1, 1) i λ = 1; B (3, 0, 1)

Fem x = 0 sobre la recta (S) => i = ½; C (0, ½, -1). I per altra banda, si fem i = 0 => x = 1; D (1, 0, -1).

És a dir, hem pres els punts A i B que pertanyen a la recta (R) i els punts C i D que pertanyen a la recta (S). Si aquests punts són coplanars, llavors les dues rectes també ho seran.

Ara triem a el punt A com el pivot i després trobem les coordenades dels vectors AB, AC i AD. D'aquesta forma s'obté:

B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => AB = (2, -1, 0)

C - A: (0-1, 1/2 -1, -1 - 1) => AC = (-1, -1/2, -2)

D - A: (1-1, 0 -1, -1 - 1) => AD = (0, -1, -2)

El proper pas és construir i calcular el determinant la primera fila són els coeficients de el vector AB, la segona fila són els de AC i la tercera fila els de el vector AD:

Com el determinant resulta ser nul, llavors podem concloure que els quatre punts són coplanaris. Addicionalment es pot afirmar que les rectes (R) i (S) són també coplanars.

- Exercici 4

Les rectes (R) i (S) són coplanars, com es va demostrar en l'exercici 3. Halle l'equació de el plànol que les conté.

solució

Els punts A, B, C defineixen completament aquest pla, però volem imposar que qualsevol punt X de coordenades (x, y, z) pertanyi a aquest.

Perquè X pertanyi a l'àmbit definit per A, B, C i en el qual estan contingudes les rectes (R) i (S), cal que s'anul·li el determinant format en la seva primera fila per les components de AX, en la segona per les de AB i en la tercera per les de AC:

Seguint aquest resultat, agrupem d'aquesta manera:

2 (x-1) + 4 (i-1) -2 (z-1) = 0

I immediatament es veu que pot ser reescrit així:

x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0

Per tant x + 2y - z = 2 és l'equació de el plànol que conté a les rectes (R) i (S).

referències

1. Fleming, W. 1989. Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. 2006. Àlgebra lineal. Pearson Educació.
3. Leal, JM 2005. Geometria Analítica Plana. Mèrida - Veneçuela: Editorial Veneçolana CA
4. Navarro, Rocio. Els vectors. Recobrat de: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD 2006. Precàlcul. Pearson Educació.
6. Prenowitz, W. 2012. Basic Concepts of Geometry. Rowman & Littlefield.
7. Sullivan, M. 1997. Precàlcul. Pearson Educació.