PROPORCIONALITAT COMPOSTA: EXPLICACIÓ, REGLA DE TRES COMPOSTA, EXERCICIS - MATEMÀTIQUES - 2026

La proporcionalitat composta o múltiple és la relació entre més de dues magnituds, on pot observar-se proporcionalitat directa i inversa entre les dades i la incògnita. Es tracta d'una versió més avançada de la proporcionalitat simple, tot i que les tècniques emprades en els dos procediments són similars.

Per exemple, si es necessiten a 7 persones per descarregar 10 tones de mercaderia en 3 hores, la proporcionalitat composta es pot utilitzar per calcular quantes persones es necessitaran per descarregar 15 tones en 4 hores.

Font: pixabay.com

Per respondre a aquesta pregunta, és convenient fer una taula de valors per a estudiar i relacionar les magnituds i incògnites.

Es procedeix a analitzar els tipus de relacions entre cada magnitud i la incògnita present, que per a aquest cas correspon a la quantitat de persones que treballaran.

A mesura que augmenta el pes de la mercaderia, també augmenta la quantitat de persones necessàries per descarregar-la. A causa d'això, la relació entre pes i treballadors és directa.

D'altra banda, a l'augmentar la quantitat de treballadors, les hores de treball disminueixen. A causa d'això, la relació entre persones i hores de treball és de tipus invers.

Com calcular proporcionalitats compostes

Per resoldre exemples com l'anterior, s'utilitza majorment mètode de la regla de tres composta. Aquest consisteix a establir els tipus de relacions entre magnituds i incògnites per després representar un producte entre fraccions.

Pel que fa a l'exemple inicial, les fraccions corresponents a la taula de valors s'organitzen de la següent manera:

Però abans de resoldre i aclarir la incògnita s'han d'invertir les fraccions corresponents a la relació inversa. Que per aquest cas corresponen a la variable temps. D'aquesta manera, l'operació a resoldre serà:

L'única diferència és la inversió de la fracció corresponent a la variable temps 4/3. Es procedeix a operar i aclarir el valor de x.

Així, es necessiten més d'onze persones per poder descarregar 15 tones de mercaderia en 4 hores o menys.

explicació

La proporcionalitat és la relació constant entre magnituds que es troben subjectes a canvis, els quals seran simètrics per a cadascuna de les magnituds involucrades. Hi relacions directament i inversament proporcionals, definint així els paràmetres de la proporcionalitat simple o composta.

Regla de tres directa

Consisteix en una relació de proporció entre variables, que presenten el mateix comportament a l'ésser modificades. És molt freqüent en el càlcul de percentatges referents a magnituds diferents de cent, on s'aprecia la seva estructura fonamental.

A manera d'exemple es pot calcular el 15% de 63. A simple vista no pot apreciar-se aquest percentatge de manera senzilla. Però implementant la regla de tres es pot realitzar la següent relació: si el 100% és 63, llavors el 15%, quant serà?

100% ---- 63

15% ---- X

I l'operació corresponent és:

(15%. 63) / 100% = 9,45

On els signes de percentatge es simplifiquen i s'aconsegueix la xifra 9,45 que representa el 15% de 63.

Regla de tres inversa

Com el seu nom indica, en aquest cas la relació entre les variables és contrària. S'ha d'establir la relació inversa abans de procedir a el càlcul. El seu procediment és homòleg a el de la regla de tres directa, a excepció de la inversió en la fracció a calcular.

Per exemple, 3 pintors necessiten 5 hores per acabar una paret. En quantes hores la acabarien 4 pintors?

En aquest cas la relació és inversa, ja que a l'augmentar la quantitat de pintors el temps de treball hauria de disminuir. S'estableix la relació;

3 pintors - 5 hores

4 pintores-- X hores

A l'ésser inversa la relació, s'inverteix l'ordre d'operació. Sent aquesta la manera correcta;

(3 pintors). (5 hores) / 4 pintors = 3,75 hores

Es simplifica el terme pintors, i el resultat és 3,75 hores.

condició

Per estar en presència d'una proporcionalitat composta o múltiple, cal trobar els dos tipus de relació entre les magnituds i variables.

- Directa: La variable presenta el mateix comportament que la incògnita. És a dir, que a l'augmentar o decréixer una, l'altra s'altera per igual.

- Inversa: La variable presenta un comportament antònim a el de la incògnita. S'ha d'invertir la fracció que defineix a aquesta variable a la taula de valors, amb la finalitat de representar la relació inversament proporcional entre variable i incògnita.

Verificació de resultats

És molt comú confondre l'ordre de les magnituds quan es treballa amb proporcionalitats compostes, a diferència del que passa en els càlculs de proporció habituals, la naturalesa és majorment directa i resoluble mitjançant regla de tres simple.

Per això és important examinar l'ordre lògic dels resultats, constatant la coherència de les xifres llançades per la regla de tres composta.

En l'exemple inicial, cometre aquest error implicaria obtenir 20 com a resultat. És a dir, 20 persones per descarregar 15 tones de mercaderia en 4 hores.

A primera vista no sembla un resultat desgavellat, però resulta curiós un augment de gairebé un 200% en el personal (de 7 a 20 persones) quan l'augment de mercaderia és d'un 50%, i fins i tot amb un major marge de temps per a realitzar la tasca.

D'aquesta forma la verificació lògica dels resultats representa un pas important a l'implementar la regla de tres composta.

rebuig

Encara que de naturalesa més bàsica pel que fa a la formació matemàtica, el rebuig representa un pas important en els casos de proporcionalitat. Un refús erroni és suficient per invalidar qualsevol resultat obtingut en regla de tres simple o composta.

història

La regla de tres es va fer coneguda a Occident a través dels àrabs, amb publicacions de diversos autors. Entre ells Al-Jwarizmi i A el-Biruni.

A el-Biruni, gràcies als seus coneixements multiculturals, va tenir accés a vasta informació referent a aquesta pràctica en els seus viatges a l'Índia, sent el responsable de la documentació més extensa sobre la regla de tres.

Planteja en la seva investigació, que l'Índia va ser el primer lloc on es va fer comú l'ús de la regla de tres. L'escriptor assegura que era fer de manera fluïda en les seves versions directa, inversa i fins i tot composta.

Encara es desconeix la data exacta en què la regla de tres va passar a formar part dels coneixements matemàtics de l'Índia. No obstant això, el document més antic dirigit a aquesta pràctica, el manuscrit de Bakhshali, va ser descobert en 1881. Actualment es troba a Oxford.

Molts historiadors de la matemàtica asseguren que aquest manuscrit data de principis de la present era.

exercicis resolts

exercici 1

Una aerolínia de traslladar 1535 persones. Se sap que amb 3 avions li prendria 12 dies portar fins a l'últim passatger a destinació. 450 persones més han arribat a l'aerolínia i s'ordena reparar 2 avions per col·laborar amb aquesta tasca. Quants dies li prendrà a l'aerolínia traslladar fins a l'últim passatger al seu destí?

La relació entre la quantitat de persones i dies de feina és directa, pel fet que a major quantitat de persones, més dies es requeriran per a realitzar aquesta tasca.

D'altra banda la relació entre avions i dies és inversament proporcional. A l'augmentar la quantitat d'avions disminueixen els dies necessaris per traslladar a la totalitat de passatgers.

Es realitza la taula de valors referents a aquest cas.

Com es va detallar en l'exemple inicial, s'ha d'invertir numerador i denominador en la fracció corresponent a la variable inversa respecte de la incògnita. Quedant l'operació de la següent manera:

X = 71460/7675 = 9,31 dies

Per traslladar a 1985 persones usant 5 avions, són necessaris més de 9 dies.

exercici 2

Una collita de blat de moro de 25 tones és portada als camions de càrrega. Se sap que l'any anterior els va prendre 8 hores amb una nòmina de 150 treballadors. Si per a aquest any la nòmina augment un 35%, quant de temps els prendrà omplir els camions de càrrega amb una collita de 40 tones?

Abans de representar la taula de valors s'ha de definir la quantitat de treballadors per a aquest any. Aquesta va augmentar un 35% de la xifra inicial de 150 treballadors. Per a això es fa servir una regla de tres directa.

100% ---- 150

35% ---- X

X = (35. 100) / 100 = 52,5. Aquest és el nombre de treballadors addicionals pel que fa a l'any anterior, obtenint un nombre total de treballadors de 203, desupés d'arrodonir la quantitat obtinguda.

Es procedeix a definir la taula de dades corresponent

Per a aquest cas, el pes representa una variable de relació directa amb la incògnita temps. D'altra banda la variable treballadors maneja una relació inversa amb el temps. A major nombre de treballadors, la jornada serà més breu.

Tenint en compte aquestes consideracions i invertint la fracció corresponent a la variable treballadors, es procedeix a calcular.

X = 40600/6000 = 6,76 hores

La jornada trigarà poc menys de 7 hores.

exercicis proposats

- Definiu el 73% de 2875.

- Calculeu la quantitat d'hores que dorm Teresa, si es coneix que només dorm un 7% de l'total de el dia. Definiu quantes hores dorm a la setmana.

- Un diari publica 2000 còpies cada 5 hores, usant només 2 màquines d'impressió. Quantes còpies produirà en 1 hora, si utilitza 7 màquines? En quant de temps produirà 10.000 còpies utilitzant 4 màquines?

referències

1. Enciclopèdia Álvarez-iniciació. A. Álvarez, Antonio Álvarez Pérez. EDAF, 2001.
2. Manual complet d'instruccion primària elemental i superior: per a ús dels aspirants á mestres i especialment dels alumnes de les Escoles Normals de Província, Volum 1. Joaquín Avendaño. Impremta de D. Dionisio Hidalgo, 1844.
3. Rational Approximation of Reial Functions. PP Petrushev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3 mar. 2011.
4. Aritmètica elemental per a l'ensenyament a les escoles i col·legis de l'Amèrica Central. Darío González. Tip. Arenals, 1926.
5. The Study of Mathematics: On the study and Difficulties of mathematics. Augustus De Morgan. Baldwin and Cradock, 1830.