PROPIETATS DE LA IGUALTAT - MATEMÀTIQUES - 2025

Les propietats de la igualtat es refereixen a la relació entre dos objectes matemàtics, ja siguin nombres o variables. Es denota pel símbol «=», que sempre va enmig d'aquests dos objectes. Aquesta expressió es fa servir per establir que dos objectes matemàtics representen el mateix objecte; en una altra paraula, que dos objectes són la mateixa cosa.

Hi ha casos en què és trivial utilitzar la igualtat. Per exemple, és clar que 2 = 2. No obstant això, quan es tracta de variables ja no és trivial i té usos específics. Per exemple, si s'ha de i = xi per altra banda x = 7, es pot concloure que i = 7 també.

L'exemple anterior es basa en una de les propietats de la igualtat, com es veurà en breu. Aquestes propietats són indispensables per resoldre equacions (igualtats que involucren variables), les quals formen una part molt important en les matemàtiques.

Quines són les propietats de la igualtat?

propietat reflexiva

La propietat reflexiva, en el cas de la igualtat, estableix que tot nombre és igual a si mateix i s'expressa com b = b per a qualsevol nombre real b.

En el cas particular de la igualtat aquesta propietat semblés ser òbvia, però en un altre tipus de relacions entre nombres no ho és. En altres paraules, no tota relació de nombres reals compleix amb aquesta propietat. Per exemple, aquest cas de la relació "menor que" (<); cap nombre és menor que si mateix.

propietat simètrica

La propietat simètrica per a la igualtat diu que si a = b, llavors b = a. No importa l'ordre que s'usi en les variables, aquest serà preservat per la relació d'igualtat.

Es pot observar certa analogia d'aquesta propietat amb la propietat commutativa en el cas de la suma. Per exemple, a causa d'aquesta propietat és equivalent escriure i = 4 o 4 = i.

propietat transitiva

La propietat transitiva en la igualtat estableix que si a = bib = c, llavors a = c. Per exemple, 2 + 7 = 9 i 9 = 6 + 3; per tant, per la propietat transitiva s'ha de 2 + 7 = 6 + 3.

Una aplicació senzilla és la següent: suposem que Julián té 14 anys d'edat i que Mario té la mateixa edat de Rosa. Si Rosa té la mateixa edat de Julián, quants anys té Mario?

Darrere d'aquest escenari es fa servir la propietat transitiva dues vegades. Matemàticament s'interpreta així: sigui «a» l'edat de Mario, «b» l'edat de Rosa i «c» l'edat de Julià. Se sap que b = ci que c = 14.

Per la propietat transitiva s'ha de b = 14; és a dir, Rosa té 14 anys. Com a = bib = 14, usant novament la propietat transitiva s'ha de a = 14; és a dir, que l'edat de Mario també és 14 anys.

propietat uniforme

La propietat uniforme consisteix que, si es sumen o es multipliquen banda i banda d'una igualtat per la mateixa quantitat, la igualtat es preserva. Per exemple, si 2 = 2, llavors 2 + 3 = 2 + 3, la qual cosa és clar, ja que 5 = 5. Aquesta propietat té major utilitat quan es tracta de resoldre una equació.

Per exemple, suposem que es demana resoldre l'equació x-2 = 1. És convenient recordar que resoldre una equació consisteix a determinar explícitament la variable (o variables) involucrada, en funció d'un nombre específic o d'una variable prèviament especificada.

Tornant a l'equació x-2 = 1, el que s'ha de fer és trobar explícitament quant val x. Per a això s'ha aclarir la variable.

Erradament s'ha ensenyat que en aquest cas, com el número 2 està negatiu, passa a l'altre costat de la igualtat amb signe positiu. Però no és correcte dir-ho d'aquesta manera.

En el fons, el que s'està fent és aplicar la propietat uniforme, com veurem a continuació. La idea és aclarir «x»; és a dir, deixar-la sola d'una banda de l'equació. Per convenció se sol deixar de la banda esquerra.

Per a aquest objectiu el número que es vol "eliminar" és el -2. La manera de fer-ho seria sumant 2, doncs -2 + 2 = 0 i x + 0 = 0. Per poder fer això sense alterar la igualtat, s'ha d'aplicar la mateixa operació de l'altre costat.

Això ho permet realitzar la propietat uniforme: com x-2 = 1, si se suma el número 2 a banda i banda de la igualtat, la propietat uniforme diu que no s'altera la mateixa. Llavors s'ha de x-2 + 2 = 1 + 2, el que és equivalent a dir que x = 3. Amb això estaria resolta l'equació.

Anàlogament, si es vol resoldre l'equació (1/5) i-1 = 9, es pot procedir usant la propietat uniforme de la següent manera:

Més generalment, es poden establir les següents afirmacions:

- Si a b = cb, llavors a = c.

- Si xb = i, llavors x = i + b.

- Si (1 / a) z = b, llavors z = a ×

- Si (1 / c) a = (1 / c) b, llavors a = b.

propietat cancelativa

La propietat cancelativa és un cas particular de la propietat uniforme, considerant particularment el cas de la resta i la divisió (que, en el fons, també corresponen a una suma i una multiplicació). Aquesta propietat tracta aquest cas de manera separada.

Per exemple, si 7 + 2 = 9, llavors 7 = 9-2. O si 2y = 6, llavors i = 3 (dividint entre dos a banda i banda).

Anàlogament a el cas anterior, a través de la propietat cancelativa es poden establir les següents afirmacions:

- Si a + b = c + b, llavors a = c.

- Si x + b = i, llavors x = b.

- Si az = b, llavors z = b / a.

- Si ca = cb, llavors a = b.

Propietat de substitució

Si coneixem el valor d'un objecte matemàtic, la propietat de substitució estableix que aquest valor pot ser substituït en qualsevol equació o expressió. Per exemple, si b = 5 ja = bx, llavors substituint el valor «b» en la segona igualtat s'ha de a = 5x.

Un altre exemple és el següent: si «m» divideix «n» i també «n» divideix «m», llavors s'ha de haver de m = n.

En efecte, dir que «m» divideix «n» (o equivalentment, que «m» és un divisor de «n») vol dir que la divisió m ÷ n és exacta; és a dir, a l'dividir «m» entre «n» s'obté un nombre sencer, no decimal. Això es pot expressar dient que hi ha un nombre enter «k» tal que m = k × n.

Com «n» també divideix «m», llavors hi ha un nombre enter «p» tal que n = p × m. Per la propietat de substitució, s'ha de n = p × k × n, i perquè això passi hi ha dues possibilitats: n = 0, i en aquest cas es tindria la identitat 0 = 0; op × k = 1, d'on s'hauria de la identitat n = n.

Suposem que «n» és diferent de zero. Llavors necessàriament p × k = 1; per tant, p = 1 i k = 1. Usant novament la propietat de substitució, a l'substituir k = 1 en la igualtat m = k × n (o equivalentment, p = 1 a n = p × m) s'obté finalment que m = n, que era el que es volia demostrar.

Propietat de potència en una igualtat

Així com anteriorment es va veure que si es fa una operació com una suma, multiplicació, resta o divisió en dos termes d'una igualtat, aquesta es preserva, de la mateixa manera es poden aplicar altres operacions que no alterin una igualtat.

La clau és realitzar-la sempre en tots dos costats de la igualtat i assegurar-se prèviament que l'operació es pot realitzar. Tal és el cas de la potenciació; això és, si s'eleven banda i banda d'una equació a la mateixa potència, se segueix tenint una igualtat.

Per exemple, com 3 = 3, llavors 3 ² = 3 ² (9 = 9). En general, donat un nombre enter «n», si x = i, llavors x ⁿ = i ⁿ.

Propietat de l'arrel en una igualtat

Aquest és un cas particular de potenciació i s'aplica quan la potència es tracta d'un nombre racional no sencer, com per exemple ½, el qual representa l'arrel quadrada. Aquesta propietat estableix que si s'aplica la mateixa arrel en ambdós costats d'una igualtat (sempre que sigui possible fer-ho), la igualtat es preserva.

A diferència d'el cas anterior, aquí s'ha de tenir cura amb la paritat de l'arrel que es vagi a aplicar, ja que és ben conegut que l'arrel parell d'un nombre negatiu no està ben definida.

En el cas que el radical sigui parell, no hi ha cap problema. Per exemple, si x ³ = -8, tot i que és una igualtat, no es pot aplicar una arrel quadrada en ambdós costats, per exemple. No obstant això, si es pot aplicar una arrel cúbica (la qual cosa és fins i tot més convenient si es vol conèixer explícitament el valor de x), obtenint així que x = -2.

referències

1. Aylwin, CU (2011). Lògica, Conjunts i Números. Mèrida - Veneçuela: Consell de Publicacions, Universitat dels Andes.
2. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matemàtiques 1 SET. Llindar.
3. Lira, ML (1994). Simó i les matemàtiques: text de matemàtiques per segon any bàsic: llibre de l'alumne. Andres Bell.
4. Preciado, CT (2005). Curs de Matemàtiques 3r. Editorial Progrés.
5. Segòvia, BR (2012). Activitats matemàtiques i jocs amb Miguel i Lucía. Baldomero Rubio Segòvia.
6. Toral, C., & Preciado, M. (1985). Curs de Matemàtiques 2n. Editorial Progrés.