PROPIETAT DE PANY DE L'ÀLGEBRA: DEMOSTRACIÓ, EXEMPLES - MATEMÀTIQUES - 2025

La propietat de pany de l'àlgebra és un fenomen que relaciona dos elements d'un conjunt amb una operació, on la condició necessària és que, després de ser processats els 2 elements sota aquesta operació, el resultat també pertanyi a el conjunt inicial.

Per exemple, si es prenen els números parells com a conjunt i una suma com a operació, s'obté un pany de dita conjunta pel que fa a la suma. Això és a causa que la suma de 2 nombres parells sempre llançarà com a resultat un altre nombre parell, complint-se així la condició de pany.

Font: unsplash.com

Característiques

Són moltes les propietats que determinen els espais o cossos algebraics, com estructures o anells. No obstant això, la propietat de pany és una de les més conegudes dins de l'àlgebra bàsica.

No totes les aplicacions d'aquestes propietats es donen en base a fenòmens o elements numèrics. Molts exemples quotidians es poden treballar des d'un enfocament algebraic-teòric pur.

Un exemple pot ser els ciutadans d'un país que assumeixen una relació legal de qualsevol tipus, com a societat comercial o matrimoni entre d'altres. Després de realitzada aquesta operació o gestió, segueixen sent ciutadans de país. D'aquesta manera la ciutadania i les operacions de gestió pel que fa a dos ciutadans representen un pany.

àlgebra numèrica

Pel que fa als números, hi ha molts aspectes que han estat motiu d'estudi en diferents corrents de la matemàtica i l'àlgebra. D'aquests estudis han sorgit gran quantitat d'axiomes i teoremes que serveixen com a base teòrica de les investigacions i treballs contemporanis.

Si es treballa amb els conjunts numèrics podem establir una altra definició vàlida per a la propietat de pany. Es diu que un conjunt A és el pany d'un altre conjunt B si A és el conjunt més petit que conté a tots els conjunts i operacions que alberga B.

demostració

S'aplica la demostració de pany per elements i operacions presents en el conjunt dels nombres reals R.

Siguin A i B dos nombres que pertanyen a el conjunt R, es defineix el pany d'aquests elements per a cada operació continguda en R.

suma

- Suma: ∀ A B ∈ R → A + B = C ∈ R

Aquesta és la manera algebraica de dir que Per tot A i B que pertany als nombres reals, s'ha de la suma de A més B és igual a C, que també pertany als reals.

Resulta senzill comprovar si aquesta proposició és certa; n'hi ha prou amb efectuar la suma entre qualsevol nombre real i verificar si el resultat pertany també als nombres reals.

3 + 2 = 5 ∈ R

-2 + (-7) = -9 ∈ R

-3 + 1/3 = -8/3 ∈ R

5/2 + (-2/3) = 11/6 ∈ R

S'observa que la condició de pany es compleix per als nombres reals i la suma. D'aquesta manera es pot concloure: La suma de nombres reals és un pany algebraica.

multiplicació

- Multiplicació: ∀ A B ∈ R → A. B = C ∈ R

Per a tot A i B que pertany als reals, s'ha de la multiplicació de A per B és igual a C, que també pertany als reals.

A l'verificar amb els mateixos elements de l'exemple anterior s'observen els següents resultats.

3 x 2 = 6 ∈ R

-2 x (-7) = 14 ∈ R

-3 x 1/3 = -1 ∈ R

5/2 x (-2/3) = -5/3 ∈ R

Això és suficient evidència per concloure que: La multiplicació de nombres reals és un pany algebraica.

Es pot estendre aquesta definició a totes les operacions dels nombres reals, tot i que trobarem certes excepcions.

Font: pixabay.com

Casos especials en R

divisió

Com a primer cas especial s'observa la divisió, on s'aprecia la següent excepció:

∀ A B ∈ R → A / B ∉ R ↔ B = 0

Per a tot A i B que pertanyen a R s'ha de A entre B no pertany als reals si i només si B és igual a zero.

Aquest cas es refereix a la restricció de no poder dividir entre zero. A causa de que zero pertany als nombres reals, llavors es conclou que: la divisió no és un pany en els reals.

radicació

També hi ha les operacions de potenciació, més específicament les de radicació, on es presenten excepcions per a les potències radicals d'índex parell:

Per a tot A que pertany als reals s'ha de l'arrel enèsima d'A pertany als reals, si i només si A pertany als reals positius unit a un conjunt l'únic element és zero.

D'aquesta manera es denota que les arrels parells només s'apliquen per als reals positius i es conclou que la potenciació no és un pany en R.

logaritme

De manera homologa s'aprecia per a la funció logarítmica, la qual no es troba definida per a valors menors o iguals a zero. Per comprovar si el logaritme és un pany de R es procedeix de la següent manera:

Per a tot A que pertany als reals s'ha del logaritme d'A pertany als reals, si i només si A pertany als reals positius.

A l'excloure els valors negatius i el zero que també pertanyen a R es pot afirmar que:

El logaritme no és un pany dels nombres reals.

exemples

Comprovar el pany per a la suma i la resta dels nombres naturals:

Suma a N

El primer és revisar la condició de pany per a diferents elements del conjunt donat, on si s'observa que algun element trenca amb la condició es pot negar automàticament l'existència de pany.

Aquesta propietat es compleix per a tots els valors possibles d'A i B, com s'observa en les següents operacions:

1 + 3 = 4 ∈ N

5 + 7 = 12 ∈ N

1000 + 10000 = 11000 ∈ N

No hi ha valors naturals que trenquin la condició de pany, per la qual cosa es conclou:

La suma és un pany en N.

Resta en N

Es busquen elements naturals capaços de trencar amb la condició; A - B pertany als naturals.

Operant és senzill donar amb parells d'elements naturals que no compleixin amb la condició de pany. Com per exemple:

7 - 10 = -3 ∉ a N

D'aquesta manera podem concloure que:

La resta no és un pany de el conjunt dels nombres naturals.

exercicis proposats

1-Demostri si es compleix la propietat de pany per al conjunt dels nombres racionals Q, per a les operacions suma, resta, multiplicació i divisió.

2-Expliqueu si el conjunt dels nombres reals és un pany de el conjunt dels nombres enters.

3-Determineu quin conjunt numèric pot ser pany dels nombres reals.

4-Demostri la propietat de pany per al conjunt dels nombres imaginaris, respecte a la suma, resta, multiplicació i divisió.

referències

1. Panorama de les matemàtiques pures: l'elecció bourbakista. Jean Dieudonné. Reverte, 1987.
2. Teoria de nombres algebraics. Alejandro J. Díaz Barriga, Ana Irene Ramírez, Francisco Tomás. Universitat Nacional Autonoma de Mèxic, 1975.
3. Àlgebra Lineal i les seves Aplicacions. Sandra Ibeth Ochoa García, Eduardo Gutiérrez González.
4. Estructures algebraiques V: teoria de cossos. Héctor A. Merklen. Organització dels Estats Americans, Secretaria General, 1979.
5. Introducció a l'àlgebra commutativa. Michael Francis Atiyah, IG MacDonald. Reverte, 1973.