- Propietat associativa de la multiplicació
- Aplicacions de la propietat associativa de la multiplicació
- exemples
- La propietat associativa en els vectors
- Factorització de polinomis per agrupació de termes
- exercicis
- - Exercici 1
- solució
- - Exercici 2
- solució
- referències
La propietat associativa de la suma representa el caràcter associatiu de la operació suma en diversos conjunts matemàtics. S'hi relacionen tres (o més) elements d'aquests conjunts, cridats a, bic, com que sempre es compleix:
a + (b + c) = (a + b) + c
D'aquesta manera es garanteix que, independentment de la manera d'agrupar per dur a terme l'operació, el resultat és el mateix.
Figura 1. Utilitzem la propietat associativa de la suma moltes vegades a l'fer operacions aritmètiques i algebraiques. (Dibuix: freepik Composició: F. Zapata)
Però cal destacar que la propietat associativa no és sinònim de propietat commutativa. És a dir, sabem que l'ordre dels sumands no altera la suma o que l'ordre dels factors no altera el producte. Llavors per a la suma es pot escriure així: a + b = b + a.
No obstant això, en la propietat associativa és diferent, ja que l'ordre dels elements a sumar es manté i el que canvia és l'operació que s'executa primer. El que vol dir que tant és sumar primer (b + c) ia aquest resultat agregar a, que començar sumant a amb by a el resultat afegir c.
Moltes operacions importants com la suma són associatives, però no totes. Per exemple en la resta de nombres reals passa que:
a - (b - c) ≠ (a - b) - c
Si a = 2, b = 3, c = 1, llavors:
2- (3 - 1) ≠ (2 - 3) - 1
0 ≠ -2
Propietat associativa de la multiplicació
Tal com es va fer per la suma, la propietat associativa de la multiplicació assenyala que:
a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c
En el cas del conjunt dels nombres reals és senzill verificar que sempre és així. Per exemple, usant els valors a = 2, b = 3, c = 1, s'ha de:
2 ˟ (3 ˟ 1) = (2 ˟ 3) ˟ 1 → 2 ˟ 3 = 6 ˟ 1
6 = 6
Els nombres reals compleixen la propietat associativa tant de la suma com de la multiplicació. En canvi en un altre conjunt, com el dels vectors, la suma és associativa, però el producte creu o producte vectorial no ho és.
Aplicacions de la propietat associativa de la multiplicació
Un avantatge que tenen les operacions en què es compleix la propietat associativa és la de poder agrupar de la manera més convenient. Això facilita molt la resolució.
Per exemple, suposem que en una petita biblioteca hi ha 3 prestatges amb 5 panys cadascuna. A cada clavenda hi ha 8 llibres. Quants llibres hi ha en total?
Podem efectuar l'operació així: total de llibres = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 llibres.
O bé així: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 llibres.
Figura 2. Una aplicació de la propietat associativa de la multiplicació és calcular el nombre de llibres que hi ha a cada prestatgeria. Imatge creada per F. Zapata.
exemples
-En els conjunts de nombres naturals, enters, racionals, reals i complexos es compleixen la propietat associativa de la suma i de la multiplicació.
Figura 3. Per als nombres reals es compleix la propietat associativa de la suma. Font: Wikimedia Commons.
-Per als polinomis també s'apliquen en aquestes operacions.
-En els casos d'operacions de resta, divisió i exponenciació, la propietat associativa no es compleix ni en nombres reals ni polinomis.
-En el cas de les matrius, la propietat associativa es compleix per a la suma i la multiplicació, encara que en aquest últim cas, no es compleix la commutativitat. Això vol dir que, donades les matrius A, B i C, és veritat que:
(A x B) x C = A x (B x C)
Però… A x B ≠ B x A
La propietat associativa en els vectors
Els vectors formen un conjunt diferent que els nombres reals o els nombres complexos. Les operacions definides pel conjunt dels vectors són una mica diferents: hi ha suma, resta i tres tipus de productes.
La suma de vectors compleix la propietat associativa, a l'igual que els números, els polinomis i les matrius. Pel que fa als productes escalar, escalar per vector i creu que es realitzen entre vectors, aquest últim no la compleix, però el producte escalar, que és una altra classe d'operació entre vectors, sí la compleix, tenint en compte el següent:
-El producte d'un escalar per un vector dóna com a resultat un vector.
-I a l'multiplicar escalarment dos vectors, resulta un escalar.
Per tant, donats els vectors v, o i w, i addicionalment un escalar λ, és possible escriure:
- Suma de vectors: v + (o + w) = (v + u) + w
-Producte escalar: λ (v • o) = (λ v) • o
Això últim és possible gràcies al fet que v • o resulta un escalar, i λ v és un vector.
No obstant això:
v × (o × w) ≠ (v × u) × w
Factorització de polinomis per agrupació de termes
Aquesta aplicació és molt interessant, perquè tal com es va dir anteriorment, la propietat associativa ajuda a resoldre certs problemes. La suma de monomis és associativa i això es pot utilitzar per a factoritzar quan a primera vista no aparegui un factor comú obvi.
Per exemple, suposem que es demana en factors: x 3 + 2 x 2 + 3 x + 6. Aquest polinomi no té factor comú, però vegem el que passa si s'agrupa d'aquesta manera:
El primer parèntesi té com a factor comú x 2:
En el segon el factor comú és 3:
exercicis
- Exercici 1
L'edifici d'un col·legi té 4 pisos i en cada un hi ha 12 aules amb 30 pupitres al seu interior. Quants pupitres té el col·legi en total?
solució
Aquest problema es resol aplicant la propietat associativa de la multiplicació, vegem:
Nombre total de pupitres = 4 plantes x 12 aules / pis x 30 pupitres / aula = (4 x 12) x 30 pupitres = 48 x 30 = 1440 pupitres.
O si es prefereix: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 pupitres
- Exercici 2
Donats els polinomis:
A (x) = 5x 3 + 2x 2 -7x +1
B (x) = x 4 + 6x 3 -5x
C (x) = -8x 2 + 3x -7
Aplicar la propietat associativa de la suma per trobar A (x) + B (x) + C (x).
solució
Es poden agrupar els dos primers i a el resultat sumar el tercer:
A (x) + B (x) = + = x 4 + 11x 3 + 2x 2 -12x + 1
Immediatament es afegeix el polinomi C (x):
+ = X 4 + 11x 3 - 6x 2 -9x -6
El lector pot comprovar que el resultat és idèntic si es resol mitjançant l'opció A (x) +.
referències
- Jiménez, R. 2008. Àlgebra. Prentice Hall.
- Math is Fun. Commutative, associative and Distributive Laws. Recuperat de: mathisfun.com.
- Math Warehouse. Definition of associative Property. Recuperat de: mathwarehouse.com.
- Sciencing. Associative & commutative Property of Addition & Multiplication (With Examples). Recuperat de: sciencing.com.
- Wikipedia. Associative property. Recuperat de: en.wikipedia.org.